Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 7/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Transformiere die Quadrik
auf eine reelle Standardgestalt.
Parametrisiere die durch
definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden .
Betrachte die beiden Kreise
Zeige, dass die beiden Kreise über affin-linear äquivalent sind, aber nicht über .
Tipp: Eine Argumentationsmöglichkeit ergibt sich aus Satz 68.2 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).
Es sei der Nullpunkt in der reellen Ebene und . Es sei eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte mit der Eigenschaft, dass der Abstand proportional mit Proportionalitätsfaktor zum (senkrechten) Abstand ist.
Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei eine Ellipse, bei eine Parabel und bei eine Hyperbel vorliegt.
Es sei ein unendlicher Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die Nullstellenmenge nicht der gesamte affine Raum ist.
(Aus dieser Aufgabe folgt auch Aufgabe 3.12).
Bestimme für das Bild der Abbildung
eine nichttriviale algebraische Gleichung.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (9 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Abbildung
Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung (man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung).
- Die zur -Achse parallelen Geraden,
- die zur -Achse parallelen Geraden,
- die zur Antidiagonalen parallelen Geraden.
Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde für die verschiedenen reellen Quadriken eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel , oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
(Das sind die Ringe, die zum reellen Kreis und zur reellen Hyperbel gehören.) Tipp: Man betrachte für das Ideal .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Parametrisiere die durch
definierte Quadrik mit Hilfe des Punktes und der -Achse. Führe keine Variablentransformation durch.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die durch
definierte algebraische Kurve (). Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden eine Parametrisierung von erhält mit der im Beweis zu Satz 7.6 beschriebenen Methode.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Kurve genau dann rational ist, wenn es einen injektiven -Algebrahomomorphismus
gibt.
(Hier steht links der Quotientenkörper und rechts der rationale Funktionenkörper.)
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