Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23/latex

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\setcounter{section}{23}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Wo wird im Beweis zu Lemma 23.1 verwendet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \neq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{q }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} welche nicht? Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere Satz 23.2 im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also im Fall der \definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_3 }
{ = }{ \Z[ { \frac{ -1 + { \mathrm i} }{ 2 } } ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.29.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere Satz 23.2 im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also im Fall der \definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_4 }
{ = }{ \Z[ { \mathrm i} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.26.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{} im \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_7$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{} im \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_8$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{} im \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_9$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und sei $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Zerlegungsgruppe}{}{} und die \definitionsverweis {Trägheitsgruppe}{}{} zu einem Primideal ${\mathfrak q}$ über $(p)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_n }
{ = }{ \Z[X] /{ \left( \Phi_{n} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} und sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{,} die $n$ nicht teile. Es sei $f$ die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $p$ in der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} ${ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}$. Zeige, dass $p^r$ genau dann die \definitionsverweis {Norm}{}{} eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} von $R_n$ ist, wenn $r$ ein Vielfaches von $f$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Untersuche Korollar 23.3 für den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} insbesondere bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass Korollar 23.3  (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.

}
{} {}

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 21.3.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_p }
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^{p-1} +X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} }
{ \cong} { \operatorname{Gal}\, ( K_p {{|}} \Q ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Untergruppe der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{,} und es seien
\mathdisp {H_1 = H,\, H_2 , \ldots , H_k \subseteq { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}} { }
die \definitionsverweis {Nebenklassen}{}{} zu $H$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{R_p^H}{} die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_j }
{ =} { \sum_{ a \in H_j } X^a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ = }{ 1 , \ldots , k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{} für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} in der Situation von Aufgabe 23.11 für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{} für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} in der Situation von Aufgabe 23.11 für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{} für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} in der Situation von Aufgabe 23.11 für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ \Z[ 2 \zeta] }
{ \subseteq }{ R_5 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der durch $2 \zeta$ erzeugte Unterring des fünften \definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i}/5 } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet. \aufzaehlungdrei{Bestimme eine Gleichung für $S$ über $\Z$. }{Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf $S$ induziert. }{Bestimme
\mathl{S \cap \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } ]}{.} }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit Aufgabe 22.24 eine natürliche Erklärung für das in Aufgabe 22.20 beobachtete Verhalten.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) } }
{ \subseteq} { K_9 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die zugehörige Kette von \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) } }
{ \subseteq} { R_9 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn $\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X }
{ =} { \zeta+ \zeta^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} vergleiche Aufgabe 22.23. Zeige, dass für jede Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{\Z/(p)[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }}{} eine der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p }
{ =} { \begin{cases} X \\ X^2-2 \\ -X^2-X+2 \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von $p$ modulo $9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass im sechsten \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_6$ weder $\sqrt{6}$ noch $\sqrt{-6}$ enthalten ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ =} {\sum_{r = 0}^{p-1} \left( \frac{ r }{ p }\right) \zeta^{r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \zusatzklammer {erste} {} {} \definitionsverweis {quadratische Gaußsumme}{}{.} Es sei $\sigma$ ein Automorphismus des $p$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(g) }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} \, (R_p) }
{ \cong} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} }
{ \cong} { { \left( \Z/(p-1), +,0 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} $\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

}
{} {}