Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wo wird im Beweis zu
Lemma 23.1
verwendet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{q
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
welche nicht? Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere
Satz 23.2
im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also im Fall der
\definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_3
}
{ = }{ \Z[ { \frac{ -1 + { \mathrm i} }{ 2 } } ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche insbesondere mit
Aufgabe 9.29.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere
Satz 23.2
im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also im Fall der
\definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_4
}
{ = }{ \Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche insbesondere mit
Aufgabe 9.26.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{}
im
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
$R_7$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{}
im
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
$R_8$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Zerlegungsverhalten}{}{}
im
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
$R_9$ für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2,3,5,7,11,13,17,19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und sei $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Zerlegungsgruppe}{}{} und die \definitionsverweis {Trägheitsgruppe}{}{} zu einem Primideal ${\mathfrak q}$ über $(p)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_n
}
{ = }{ \Z[X] /{ \left( \Phi_{n} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
und sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
die $n$ nicht teile. Es sei $f$ die multiplikative
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $p$ in der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
${ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}$. Zeige, dass $p^r$ genau dann die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
von $R_n$ ist, wenn $r$ ein Vielfaches von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche
Korollar 23.3
für den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
insbesondere bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass Korollar 23.3 (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 21.3.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_p
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^{p-1} +X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}
}
{ \cong} { \operatorname{Gal}\, ( K_p {{|}} \Q )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{,}
und es seien
\mathdisp {H_1 = H,\, H_2 , \ldots , H_k \subseteq { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}} { }
die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
zu $H$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{R_p^H}{} die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_j
}
{ =} { \sum_{ a \in H_j } X^a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{}
für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
in der Situation von
Aufgabe 23.11
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{}
für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
in der Situation von
Aufgabe 23.11
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasen}{}{}
für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
in der Situation von
Aufgabe 23.11
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ \Z[ 2 \zeta]
}
{ \subseteq }{ R_5
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der durch $2 \zeta$ erzeugte Unterring des fünften
\definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i}/5 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.
\aufzaehlungdrei{Bestimme eine Gleichung für $S$ über $\Z$.
}{Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf $S$ induziert.
}{Bestimme
\mathl{S \cap \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } ]}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit
Aufgabe 22.24
eine natürliche Erklärung für das in
Aufgabe 22.20
beobachtete Verhalten.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \subseteq} { K_9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zugehörige Kette von
\definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \subseteq} { R_9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \zeta+ \zeta^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
vergleiche
Aufgabe 22.23.
Zeige, dass für jede Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/(p)[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }}{} eine der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p
}
{ =} { \begin{cases} X \\ X^2-2 \\ -X^2-X+2 \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von $p$ modulo $9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass im sechsten \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_6$ weder $\sqrt{6}$ noch $\sqrt{-6}$ enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {\sum_{r = 0}^{p-1} \left( \frac{ r }{ p }\right) \zeta^{r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\zusatzklammer {erste} {} {}
\definitionsverweis {quadratische Gaußsumme}{}{.}
Es sei $\sigma$ ein Automorphismus des $p$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(g)
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} \, (R_p)
}
{ \cong} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}
}
{ \cong} { { \left( \Z/(p-1), +,0 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
}
{} {}