Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23

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Aufgaben

Aufgabe

Wo wird im Beweis zu Lemma 23.1 verwendet, dass ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei , welche nicht? Wie sieht es bei und aus?


Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall , also im Fall der Eisenstein-Zahlen . Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.29.


Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall , also im Fall der Gaußschen Zahlen . Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.26.


Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen .


Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen .


Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring für die Primzahlen .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und sei der -te Kreisteilungsring. Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe zu einem Primideal über .


Aufgabe

Es sei der -te Kreisteilungsring und sei eine Primzahl, die nicht teile. Es sei die multiplikative Ordnung von in der Einheitengruppe . Zeige, dass genau dann die Norm eines Ideals von ist, wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Untersuche Korollar 23.3 für den Fall , insbesondere bei und .


Aufgabe

Zeige, dass Korollar 23.3  (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 21.3.

Aufgabe

Es sei eine Primzahl und

der -te Kreisteilungsring. Es sei

eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien

die Nebenklassen zu . Zeige, dass der Invariantenring die Ganzheitsbasis

zu besitzt.


Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .


Aufgabe *

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .


Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für .


Aufgabe *

Es sei der durch erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

  1. Bestimme eine Gleichung für über .
  2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf induziert.
  3. Bestimme .


Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit Aufgabe 22.24 eine natürliche Erklärung für das in Aufgabe 22.20 beobachtete Verhalten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körperkette

und die zugehörige Kette von Zahlbereichen

Wenn eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei

vergleiche Aufgabe 22.23. Zeige, dass für jede Primzahl in eine der Beziehung

gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von modulo abhängt, welche der drei Fälle gilt.


Aufgabe *

Zeige, dass im sechsten Kreisteilungsring weder noch enthalten ist.


Aufgabe

Es sei eine ungerade Primzahl und

die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei ein Automorphismus des -ten Kreisteilungsringes. Zeige genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.


Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?



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