Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23

Aufgaben

Aufgabe

Wo wird im Beweis zu Lemma 23.1 verwendet, dass ${}q\neq 2$ ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei ${}n=q=2$, welche nicht? Wie sieht es bei ${}q=2$ und ${}n=4$ aus?

Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall ${}n=3$, also im Fall der Eisenstein-Zahlen ${}R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\mathrm {i} }}{2}}]$. Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.29.

Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall ${}n=4$, also im Fall der Gaußschen Zahlen ${}R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.26.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring ${}R_{7}$ für die Primzahlen ${}q=2,3,5,7,11,13,17,19$.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring ${}R_{8}$ für die Primzahlen ${}q=2,3,5,7,11,13,17,19$.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring ${}R_{9}$ für die Primzahlen ${}q=2,3,5,7,11,13,17,19$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring. Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe zu einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}(p)$.

Aufgabe

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$ der ${}n$-te Kreisteilungsring und sei ${}p$ eine Primzahl, die ${}n$ nicht teile. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}p$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Zeige, dass ${}p^{r}$ genau dann die Norm eines Ideals von ${}R_{n}$ ist, wenn ${}r$ ein Vielfaches von ${}f$ ist.

Aufgabe

Untersuche Korollar 23.3 für den Fall ${}q=2$, insbesondere bei ${}n=1$ und ${}n=2$.

Aufgabe

Zeige, dass Korollar 23.3  (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 21.3.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

der ${}p$-te Kreisteilungsring. Es sei

${}H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong \operatorname {Gal} \,(K_{p}{|}\mathbb {Q} )\,$

eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien

$H_{1}=H,\,H_{2},\ldots ,H_{k}\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

die Nebenklassen zu ${}H$. Zeige, dass der Invariantenring ${}R_{p}^{H}$ die Ganzheitsbasis

${}f_{j}=\sum _{a\in H_{j}}X^{a}\,$

zu ${}j=1,\ldots ,k$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für ${}p=5$.

Aufgabe *

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für ${}p=7$.

Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für ${}p=11$.

Aufgabe *

Es sei ${}S=\mathbb {Z} [2\zeta ]\subseteq R_{5}$ der durch ${}2\zeta$ erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

1. Bestimme eine Gleichung für ${}S$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf ${}S$ induziert.
3. Bestimme ${}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$.

Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit Aufgabe 22.24 eine natürliche Erklärung für das in Aufgabe 22.20 beobachtete Verhalten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körperkette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq K_{9}\,$

und die zugehörige Kette von Zahlbereichen

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq R_{9}\,.$

Wenn ${}\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei

${}X=\zeta +\zeta ^{-1}\,,$

vergleiche Aufgabe 22.23. Zeige, dass für jede Primzahl ${}p\neq 3$ in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine der Beziehung

${}X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$

gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von ${}p$ modulo ${}9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.

Aufgabe *

Zeige, dass im sechsten Kreisteilungsring ${}R_{6}$ weder ${}{\sqrt {6}}$ noch ${}{\sqrt {-6}}$ enthalten ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$

die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei ${}\sigma$ ein Automorphismus des ${}p$-ten Kreisteilungsringes. Zeige ${}\sigma (g)=g$ genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

${}\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$

${}\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.

Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {53}{311}}\right).$

Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {563}{1231}}\right).$

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}7$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?