Kurs:Analysis/Teil I/41/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 2 2 5 5 2 6 4 5 6 2 4 8 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Kommutativität einer Verknüpfung
  2. Der Binomialkoeffizient .
  3. Die Eulersche Zahl.
  4. Ein Berührpunkt einer Menge .
  5. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
  6. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
  3. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen

a) Zeige

b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also

für ist.


Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von cm und die Flasche hat einen Durchmesser von cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine reelle Folge und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

in einem Punkt .


Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
  2. Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
  3. Bestimme die Extrema der Funktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme das Taylorpolynom zu vom Grad im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die Sinusfunktion

auf und den oberen Halbkreis (mit Radius ) oberhalb dieses Intervalls.

  1. Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion .
  2. Zeige, dass

    für alle gilt. Tipp: Betrachte die Situation für und für .

  3. Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass auf die Differentialgleichung

nicht der Lösungsansatz für getrennte Variablen anwendbar ist.