Kurs:Analysis/Teil I/43/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	5	2	3	2	2	3	1	3	4	5	7	5	3	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Ein Element  ${}s\in K$  mit  ${}x\geq s$  für alle  ${}x\in M$  heißt untere Schranke für ${}M$.
3. Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

   $n\geq x$

   gibt.
4. Für  ${}z\in {\mathbb {C} }$  heißt

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

   die Kosinusreihe zu ${}z$.

5. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in D$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in D$  mit  ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$  die Abschätzung

   ${}f(x)\geq f(x')\,$

   gilt.

6. Eine Funktion ${}F\colon {]a,b[}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}]a,b[$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
2. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
3. Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

   ${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.

Lösung

1. In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist.
2. Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Lösung erstellen

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass für  ${}n\geq 3$  die Abschätzung

${}n^{n+1}\geq (n+1)^{n}\,$

gilt.

Lösung

Es ist

${}n^{n+1}=n\cdot n^{n}\,$

und

${}(n+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}n^{n-k}=n^{n}+n\cdot n^{n-1}+{\binom {n}{2}}n^{n-2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}n^{1}+1\,.$

Hier stehen ${}n+1$ Summanden, wobei der allerletzte gleich ${}1$ ist. Wir vergleichen die Summanden mit ${}n^{n}$. Die ersten beiden Summanden sind gleich ${}n^{n}$, für  ${}k\geq 2$  ist

${}{\binom {n}{k}}n^{n-k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}n^{n-k}<n^{k}\cdot n^{n-k}=n^{n}\,.$

Bei

${}n\geq 3\,$

sind somit insbesondere die letzten beiden Summanden zusammengenommen kleinergleich ${}n^{n}$ und die Summe rechts ist somit ${}\leq n\cdot n^{n}$.

Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten die Wertetabelle

${}i$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}a_{i}$	${}2$	${}5$	${}4$	${}-1$	${}3$	${}5$	${}-2$	${}2$

1. Berechne ${}a_{2}+a_{5}$.
2. Berechne ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
3. Berechne ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
4. Berechne ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.

Lösung

Es ist

1. ${}a_{2}+a_{5}=5+3=8\,.$

2. ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}=4-1+3+5=11\,.$

3. ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}=a_{1}\cdot a_{3}\cdot a_{5}\cdot a_{7}=2\cdot 4\cdot 3\cdot (-2)=-48\,.$

4. ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}=(-1)^{2}+3^{2}=10\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n+1-k)!(k-1)!}}\\&={\frac {(n+1-k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}+{\frac {k\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1-k+k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1)!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Lösung

Er muss pro Tag ca.

${}{\frac {10000}{2300}}=4{,}35\,$

Tafeln essen, in der Woche also

${}7\cdot 4{,}35=30{,}45\,$

Tafeln.

Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Lösung

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist

${}[-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]=[-{\frac {5}{2}},-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,-{\frac {1}{3}}]\,.$

Somit ist die Gesamtmenge gleich

$]-3,-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[7,7].$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Lösung

Es ist

${}x_{1}={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,,$

${}x_{2}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {5}{\,{\frac {9}{4}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {20}{9}}}{2}}={\frac {81+80}{72}}={\frac {161}{72}}\,,$

${}x_{3}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {5}{\,{\frac {161}{72}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {360}{161}}}{2}}={\frac {25921+25920}{23184}}={\frac {51841}{23184}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}{\mathbb {C} }[X]$.

Lösung

Es ist

${}X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom  ${}P\in \mathbb {Q} [X]$  an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt:  ${}P(n)\in \mathbb {Z}$. 

Lösung

Betrachte das Polynom

${}P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$

Die Koeffizienten liegen in ${}\mathbb {Q}$, aber nicht in ${}\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl ${}n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen ${}n$ und ${}n-1$ gerade. Also ist  ${}P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$  ganzzahlig.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Lösung

Die Gleichung ist (für ${}x\neq 0$) äquivalent zu

${}f(x)=x^{3}-3x+1=0\,.$

Für  ${}x=1$  ist

${}f(1)=-1\,$

und für  ${}x=2$  ist

${}f(2)=3\,.$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein  ${}x\in [0,1]$  mit

${}f(x)=0\,.$

Um ein solches ${}x$ anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist ${}{\frac {3}{2}}$ und es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}&={\left({\frac {3}{2}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {3}{2}}+1\\&={\frac {27-36+8}{8}}\\&=-{\frac {1}{8}}\\&<0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},2]$. Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {7}{4}}$. Es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {7}{4}}\right)}&={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {7}{4}}+1\\&={\frac {343-336+64}{64}}\\&={\frac {71}{64}}\\&>0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$. Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {13}{8}}$. Es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {13}{8}}\right)}&={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {13}{8}}+1\\&={\frac {2197-2496+512}{512}}\\&={\frac {213}{512}}\\&>0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also in ${}[{\frac {12}{8}},{\frac {13}{8}}]$, die Intervalllänge ist ein Achtel.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=\ln x+{\frac {1}{x}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.
3. Bestimme das Monotonieverhalten von ${}f$.

Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}'=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {2}{x^{3}}}\,.$

2. Wir setzen

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}=0\,.$

   Dies führt auf  ${}1-{\frac {1}{x}}=0$  bzw. auf

   ${}{\frac {1}{x}}=1\,,$

   also  ${}x=1$.  Die einzige Nullstelle der Ableitung ist also in

   ${}x=1\,.$

   Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(1)=-1+2=1\,$

   liegt an dieser Stelle ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

   ${}f(1)=1\,$

   vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat und da keine Randpunkte zu beachten sind, handelt es sich um ein globales Minimum.

3. Für  ${}x<1$  ist  ${}{\frac {1}{x}}>1$  und

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}<0\,$

   und für  ${}x>1$  ist  ${}{\frac {1}{x}}<1$  und

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}>0\,.$

   Somit ist ${}f$ auf ${}]0,1]$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 1}$ streng wachsend.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei  ${}f(x)={\frac {x^{2}-3}{x+2}}$  und  ${}g(y)={\frac {y+4}{y^{2}-5}}$.  Wir betrachten die Hintereinanderschaltung  ${}h(x):=g(f(x))$. 

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {f(x)+4}{f(x)^{2}-5}}\\&={\frac {{\frac {x^{2}-3}{x+2}}+4}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-5}}\\&={\frac {(x^{2}-3)(x+2)+4(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{2}-5(x+2)^{2}}}\\&={\frac {x^{3}+2x^{2}-3x-6+4x^{2}+16x+16}{x^{4}-6x^{2}+9-5x^{2}-20x-20}}\\&={\frac {x^{3}+6x^{2}+13x+10}{x^{4}-11x^{2}-20x-11}}.\end{aligned}}$

2. Die Ableitung von ${}h$ ist nach der Quotientenregel gleich

   ${}{\begin{aligned}h'(x)&={\frac {(x^{3}+6x^{2}+13x+10)'(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)'}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {(3x^{2}+12x+13)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(4x^{3}-22x-20)}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {3x^{6}+12x^{5}-20x^{4}-192x^{3}-416x^{2}-392x-143-4x^{6}-24x^{5}-30x^{4}+112x^{3}+406x^{2}+480x+200}{x^{8}+121x^{4}+400x^{2}+121-22x^{6}-40x^{5}-22x^{4}+440x^{3}+242x^{2}+440x}}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {2x(x+2)-(x^{2}-3)}{(x+2)^{2}}}={\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\,$

   und

   ${}g'(y)={\frac {y^{2}-5-(y+4)2y}{(y^{2}-5)^{2}}}={\frac {-y^{2}-8y-5}{y^{4}-10y^{2}+25}}\,.$

   Gemäß der Kettenregel ist somit

   ${}{\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))f'(x)\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}}\cdot {\frac {(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}}\\&={\frac {-(x^{2}-3)^{2}-8(x^{2}-3)(x+2)-5(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{4}-10(x^{2}-3)^{2}(x+2)^{2}+25(x+2)^{4}}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{4}-8x^{3}-15x^{2}+4x+19}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+19}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Lösung

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}a$ besitzt. Es gibt also ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}f(x)\leq f(a)$  für alle  ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$.  Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit  ${}a-\epsilon \leq s_{n}<a$,  die gegen ${}a$ („von unten“) konvergiere. Dann ist  ${}s_{n}-a<0$  und  ${}f(s_{n})-f(a)\leq 0$  und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(a)}{s_{n}-a}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Lemma 6.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist  ${}f'(a)\geq 0$.  Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit  ${}a+\epsilon \geq t_{n}>a$  gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(a)}{t_{n}-a}}\leq 0\,.$

Daher ist auch  ${}f'(a)\leq 0$  und somit ist insgesamt  ${}f'(a)=0$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi$.

Lösung

Die Ableitung von  ${}f(x)=\sin x\cos x$  ist

${}f'(x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=1-2\sin ^{2}x\,,$

die Ableitung davon ist

${}f^{\prime \prime }(x)=-4\sin x\cos x\,,$

und die Ableitung davon ist

${}f^{\prime \prime \prime }(x)=-4+8\sin ^{2}x\,.$

Das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ im Punkt ${}\pi$ ist daher

$(X-\pi )-{\frac {2}{3}}(X-\pi )^{3}.$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die beiden Funktionen

${}f(x)=x^{2}-1\,$

und

${}g(x)=-x^{2}+1\,.$

1. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von ${}f$ und ${}g$
2. Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.

Lösung

1. Die Gleichung

   ${}x^{2}-1=-x^{2}+1\,$

   führt auf

   ${}2x^{2}=2\,$

   und damit auf  ${}x=\pm 1$.  Die Schnittpunkte sind also ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$.

2. Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ist das Doppelte des Flächeninhalts unterhalb des Graphen zu ${}g$ und oberhalb der ${}x$-Achse zwischen ${}-1$ und ${}1$. Dieser ist

   ${}\int _{-1}^{1}-x^{2}+1dx=\left(-{\frac {1}{3}}x^{3}+x\right)|_{-1}^{1}=-{\frac {1}{3}}+1-{\left({\frac {1}{3}}-1\right)}={\frac {4}{3}}\,.$

   Der gesuchte Flächeninhalt ist also ${}{\frac {8}{3}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.

Lösung

Zunächst gibt es eine Stammfunktion ${}G$ von ${}g$ aufgrund von Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), sodass die angegebenen Funktionen existieren.
Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.
Es sei ${}y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}\right)}'&={\frac {y'(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&={\frac {y(t)g(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&=0,\end{aligned}}$

sodass aufgrund von Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Quotient ${}{\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}$ konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.
Die Bedingung  ${}y(t_{0})=y_{0}$  legt den Skalar  ${}c={\frac {y_{0}}{\exp(G(t_{0}))}}$  eindeutig fest.