Kurs:Analysis/Teil II/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	6	4	3	6	4	3	4	3	6	4	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Fakultätsfunktion

   $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$

2. Eine Metrik auf einer Menge ${}M$.
3. Eine abgeschlossene Menge ${}A\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$.
4. Eine Lipschitz-stetige Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$.

5. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Formel für die Länge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon G\longrightarrow W,$

   wobei ${}G\subseteq V$ offen und ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume

   seien.
3. Das notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche.

Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ${}a>0$ fixiert. Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-at}\,dt.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${}\mathbb {R} ^{2}$, aber nicht als Teilraum von ${}\mathbb {R}$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisieren kann.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}M$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow M$

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ${}g\circ f$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit ${}M=\mathbb {R}$, dass der Fixpunkt von ${}g\circ f$ weder mit dem Fixpunkt zu ${}f$ noch mit dem Fixpunkt zu ${}g$ übereinstimmen muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

für die Umdrehung zwischen ${}t=0$ und ${}t=2\pi$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'=ty-2t^{2}+1\,$

und

${}y(0)=0\,$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}3$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{7}+xyz.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=\cos \left(xy\right)\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt ${}\left(0,\,0\right)$ ein globales Maximum besitzt.
3. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x\sin y-e^{xy},$

im Nullpunkt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${}g$ eine Stammfunktion zu ${}f$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$.

b) Zeige, dass man auf ${}\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${}t\in \mathbb {R}$ ein Zeitpunkt mit

${}\varphi '(t)=0\,.$

a) Es sei ${}h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${}\varphi$ nicht konstant sein muss.