Kurs:Analysis/Teil II/12/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 5 6 4 3 6 4 3 4 3 6 4 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei fixiert. Bestimme das uneigentliche Integral


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

für die Umdrehung zwischen und .


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

und

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Zeige, dass im Nullpunkt ein globales Maximum besitzt.
  3. Zeige, dass im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion

im Nullpunkt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit

a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.