Kurs:Analysis/Teil II/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	8	8	8	1	5	3	5	4	4	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Vektorraum.
2. Der Abschluss einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$.
3. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
4. Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
5. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Die Faser zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   über einem Punkt ${}x\in M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Unabhängigkeit der Topologie auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum.
2. Das Minorenkriterium für die Definitheit einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Mit ${}f^{\circ n}$ bezeichnen wir die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn ${}f$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch ${}f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung ${}f$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes ${}f^{\circ n}$ für ${}n\geq 2$ eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei ${}f$ Lipschitz-stetig und es sei ${}f^{\circ k}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses ${}k$. Zeige, dass es ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass ${}f^{\circ n}$ für jedes ${}n\geq n_{0}$ eine starke Kontraktion ist.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ${}1$) und darin eingeschriebene regelmäßige ${}n$-Ecke.

1. 

   In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

2. 

   In den Kreis sei ein regelmäßiges ${}6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\\z(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}f\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wie betrachten die komplexe Invertierung

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1}.$

1. Bestimme die Ableitung ${}f'(z)$ von ${}f$.
2. Beschreibe die Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit den reellen Koordinaten ${}x,y$ (bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }$).

3. Bestimme das totale Differential zu ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt.
4. Beschreibe die Multiplikation mit ${}f'(z)$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch eine reelle Matrix bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}0&b\\b&c\end{pmatrix}}$

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von ${}b,c$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.