Kurs:Analysis/Teil II/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 6 | 4 | 2 | 10 | 4 | 4 | 4 | 6 | 6 | 5 | 5 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Metrik auf einer Menge .
- Die
Kurvenlänge
einer Kurve
- Die
Niveaumenge
zu einer Funktion
über .
- Ein
regulärer Punkt
einer differenzierbaren Abbildung
zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.
- Das
Taylor-Polynom
im Punkt vom Grad einer -fach
differenzierbaren
Abbildung
- Das Gradientenfeld
zu einer differenzierbaren Funktion
auf einem euklidischen Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Banachsche Fixpunktsatz.
- Der Satz über die Umkehrabbildung.
- Der Satz von Picard-Lindelöf.
Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)
Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf durch
eine Metrik definiert wird.
b) Bestimme zu und den Abstand .
c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und metrische Räume und es seien
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
abgeschlossen in ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).
Aufgabe * (10 Punkte)
Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion mit für . Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von über mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion über übereinstimmt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das lineare Anfangswertproblem
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe * (6 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .
b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .
c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
ein Gradientenfeld und sei
( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.