Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Aufgabe

Sei ein Intervall und seien zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei

ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe *

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

differenzierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei offen und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht.

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?




Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)


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