Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},$

 für jedes ${}q\in \mathbb {Q}$.

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,$

in einem beliebigen Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.$

Bestimme die Tangenten an ${}f$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$ und ${}g(y)=y^{2}-y+2$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ genau dann einen Grad ${}\leq d$ besitzt (oder ${}P=0$ ist), wenn die ${}(d+1)$-te Ableitung von ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$ und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}0$. Zeige die Beziehung

${}f(z)-t(z)=z^{2}g(z)\,$

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$, ${}w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}w$. Zeige die Beziehung

${}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$

wobei ${}D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$

differenzierbar ist oder nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${}F^{(n)}=0$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?

Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht. Unter einem Zykel von ${}f$ der Länge ${}n$ verstehen wir ein ${}x\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}f^{n}(x)=x$ (${}f^{n}$ bezeichnet die ${}n$-te Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst) und ${}f^{i}(x)\neq x$ ist für ${}i=1,2,\ldots ,n-1$. Besitzt ${}f$ Zykel der Länge ${}n\geq 2$?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)