Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 18
- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion
in einem beliebigen Punkt .
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Aufgabe *
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Aufgabe
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe
Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.
Aufgabe *
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Aufgabe
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei
ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
Aufgabe *
Es sei
ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung
mit einem Polynom vom Grad .
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Aufgabe
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Funktion
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
- Die Weihnachtsaufgabe
Aufgabe (10 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?
(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)
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