Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.
Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.
Eine Funktion
heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.
Man gebe Beispiele für Abbildungen
derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Es seien und natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über , dass aus einer Bijektion
folgt, dass ist.
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
Es sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge . Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn und zwar eine Vereinigung von ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?
Es sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen
Es seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen
Man mache sich diese Situation für und klar.
Es sei eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):
Es sei eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):
- ,
- ,
- .
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen
surjektiv ist.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen
injektiv ist.
Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.
Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte auf der Menge die Abbildung
die durch die Wertetabelle
gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Mengen. Wir betrachten die Abbildung
bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.
a) Zeige, dass injektiv ist.
b) Es sei . Zeige, dass nicht surjektiv ist.
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