Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 28/kontrolle
- Übungsaufgaben
Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen und zeitunabhängig ist, d.h. dass konstant ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.
Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.
Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung
Die folgende Aufgabe setzt
Aufgabe 19.11
voraus.
Es sei
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung
Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit .
Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.
Finde eine differenzierbare Funktion (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung
erfüllt (dabei ist als der Wert der Funktion an der Stelle zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen mit ; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
Löse damit das Anfangswertproblem
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
Löse damit das Anfangswertproblem
Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
einen -dimensionalen reellen Vektorraum bilden.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
auf mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es zu jedem unendlich oft differenzierbare Funktionen
derart gibt, dass die -te Ableitung mit übereinstimmt, die Ableitungen , , aber nicht.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
mit und mit für alle , die von verschieden ist.
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