Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 38

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Seien . Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve


Aufgabe

Sei

eine Kurve und . Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von auf und auf rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

gilt.


Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

von nach .


Helix2.png


Aufgabe *

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

von bis , wobei .


Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus von nach .


Aufgabe *

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also

Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.

b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.


Die folgenden Aufgaben diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass

mit einem , , gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass

mit einem , , gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass und linear abhängig sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit abgeschossen und bewege sich danach Luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve des Körpers und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

von nach .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion von nach .


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Zeige, dass es ein derart gibt, dass und linear abhängig sind.


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