- Übungsaufgaben
Skizziere die
Bilder und die
Graphen
der folgenden
Kurven im
.
,
,
,
,
.
Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven
-
deren
Bilder
(Bahnen)
aber übereinstimmen.
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
in jedem Punkt
.
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
für jeden Punkt
.
Es sei
ein reelles Intervall und
ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
-
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion.
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Summe
-
ist in
differenzierbar mit
-
- Das Produkt
-
ist differenzierbar in
mit
-
Insbesondere ist für
auch
differenzierbar in
mit
-
- Wenn
nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
-
in
differenzierbar mit
-
Es seien
-
zwei
differenzierbare Kurven.
Berechne die
Ableitung der Funktion
-
Wir betrachten die Funktionen
-
Es seien
drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
-

a) Berechne
und
.
b) Berechne
.
c) Zeige, dass
ein Vielfaches von
und
ein Vielfaches von
ist.
d) Skizziere für
,
und
das Bild der Kurve
für
.
Das
Bild
der durch
-
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
erfüllt.
Sei
-
Bestimme die Punkte
, für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte
zum Punkt
minimal wird.
Wir betrachten die Kurve
-
a) Zeige, dass die
Bildpunkte
der Kurve die Gleichung
-
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt
mit
zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte
und
mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Es sei
der
Graph
der
reellen Betragsfunktion.
Man gebe eine
differenzierbare Kurve
-
an, deren
Bild
genau
ist.
Sei
ein Punkt und sei
. Wir betrachten die Menge
-
Wir nennen zwei
Kurven
tangential äquivalent, wenn
ist.
a) Zeige, dass dies eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die
Äquivalenzklassen.
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen
(also die
Quotientenmenge).
Es seien
endlich viele Punkte und sei
. Zeige, dass es zu je zwei Punkten
eine
differenzierbare Kurve
-
mit
und
gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
Betrachte die
Kurve
-
a) Bestimme die
Ableitung von
in jedem Punkt
.
b) Bestimme die Komponentenfunktionen von
bezüglich der neuen Basis
-
von
.
c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von
Lemma 37.8.
Für welche Punkte
ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve
-
zum Nullpunkt

maximal, für welche minimal?
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Punkt
den eindeutigen Schnittpunkt
der durch die beiden Punkte
und
gegebenen Geraden
mit dem
Einheitskreis
-

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass
differenzierbar
ist. Ist
injektiv,
ist
surjektiv?
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle
Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius
Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle
Sekunden um einen großen Kreis mit Radius
Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt
besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand
Meter.
a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang
(in einem geeigneten Koordinatensystem)
als eine
differenzierbare Kurve.[1]
b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
c) Berechne die Geschwindigkeit
(den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
Bestimme in der Situation von
Aufgabe 37.19
die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.
- Fußnoten
- ↑ Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus.