Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung . Bestimme zur Schrittweite die approximierenden Punkte gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere . Was passiert mit für ?


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

für .


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ) des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

differenzierbare Funktionen mit

für alle . Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass sowohl als auch Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.5 zu einem Startzeitpunkt , einem Startpunkt und einer vorgegebenen Schrittweite die approximierenden Punkte berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte für

  1. , , , .
  2. , , , .
  3. , , , .
  4. , , , .
  5. , , , .
  6. , , , .
  7. , , , .
  8. , , , .

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite die Näherungspunkte für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe (8 (2+6) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

a) Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion zu einer Lösung erfüllen muss.

b) Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für ) zum linearen Differentialgleichungssystem

mit Hilfe von Aufgabe 41.9.


Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das -te Legendre-Polynom[1]

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.




Fußnoten
  1. Hier bedeutet das hochgestellte die -te Ableitung.


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)