Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\varphi _{1}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{1}(t)\,$

und ${}\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{2}(t)\,.$

Zeige, dass ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${}v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${}L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 42.8 die Anfangsbedingungen?

Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

mit der Anfangsbedingung ${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$

Lösungen mit ${}u(0)=a$ und ${}v(0)=b$, wobei ${}a,b\in \mathbb {R}$ sind.

Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator

$D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.$

Zu einem Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, betrachten wir den Operator

$P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.$

Berechne ${}(P(D))(f)$ für ${}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ und ${}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$. Zeige, dass ${}P(D)$ eine lineare Abbildung auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Differentialoperator ${}(D-\lambda )^{n}$ die Funktionen ${}x^{j}e^{\lambda x}$ mit ${}0\leq j<n$ auf die Nullfunktion abbildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.$

Fußnoten