Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 58/kontrolle

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Übungsaufgaben
Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Ob ein Vektorfeld auf die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.


Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

auf einer offenen Teilmenge nennt man

die Rotation von .


Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei offen. Zeige, dass genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Lemma 35.13.


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