Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 74/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}),$

in jedem Punkt maßtreu, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Transformation

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),$

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$- Diffeomorphismus mit offenen zusammenhängenden Mengen ${}G$ und ${}H$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann maßtreu ist, wenn die Jacobi-Determinante überall den Wert ${}1$ oder überall den Wert ${}-1$ hat.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper ${}K$ mit der Transformationsformel und der Abbildung

$\varphi \colon [a,b]\times D\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto (x,f(x)y,f(x)z),$

wobei ${}D$ die Einheitskreisscheibe bezeichnet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt mit ${}a_{n+1}>0$ und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}],\,(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},0)+{\frac {t}{a_{n+1}}}(a_{1}-x_{1},\ldots ,a_{n}-x_{n},a_{n+1}).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Wert des Quadrats ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}$ für das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.