Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 67/latex
\setcounter{section}{67}
\zwischenueberschrift{Das Verhalten von Maßen bei linearen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein reeller
\definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {L} {\R^n} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten für das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{L_*\lambda^n}{} des
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maßes}{}{}
$\lambda^n$ unter $L$ folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$L_*\lambda^n$ ist
\definitionsverweis {translationsinvariant}{}{.}
} {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_*\lambda^n
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ \lambda^n(P_L) } } \cdot \lambda^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $P_L$ das von den Bildvektoren
\mathl{L(e_1) , \ldots , L(e_n)}{}
\definitionsverweis {erzeugte Parallelotop}{}{}
bezeichnet.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es sei $\tau_v$ die Translation um den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ L^{-1}(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau_v \circ L
}
{ =} { L \circ \tau_w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist für eine beliebige
\definitionsverweis {messbare Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufgrund der
\definitionsverweis {Translationsinvarianz}{}{}
von $\lambda^n$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (L_*\lambda^n)(B+v)
}
{ =} { \lambda^n { \left( L^{-1} (B+v) \right) }
}
{ =} { \lambda^n { \left( \tau_w^{-1} { \left( L^{-1}(B+v) \right) } \right) }
}
{ =} { \lambda^n { \left( L^{-1} { \left( \tau_v^{-1}(B+v) \right) } \right) }
}
{ =} { \lambda^n(L^{-1}(B))
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (L_*\lambda^n)(B)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1) mit
Lemma 66.13.}
{}
\inputfaktbeweis
{Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für jede
\definitionsverweis {messbare Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n (L(S))
}
{ =} { \betrag { \det L } \cdot \lambda^n(S)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $L$ nicht bijektiv ist, so steht links und rechts einfach $0$, wie aus
Lemma 66.11
und
Satz Anhang C.10
folgt. Wir können also annehmen, dass $L$ bijektiv ist. Dann kann man die Aussage mit dem Bildmaß als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_*\lambda^n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \betrag { \det L } } } \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
formulieren.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund von
Satz Anhang B.5
in Verbindung mit
Lemma Anhang B.7
gibt es
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ E_1 \circ \cdots \circ E_\ell \circ D \circ E_{\ell +1} \circ \cdots \circ E_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
und wegen
Lemma 63.9
und
Aufgabe 67.7
genügt es, die Aussage für Diagonalmatrizen und Elementarmatrizen zu beweisen.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wegen
Lemma 67.1
ist also für diese Matrizen zu zeigen, dass das Volumen des von den Bildvektoren der Standardvektoren
\definitionsverweis {erzeugten Parallelotops}{}{}
gleich dem Betrag der Determinante der Matrix ist. Für eine Diagonalmatrix ist das erzeugte Parallelotop der Quader, dessen Seitenlängen die Beträge der Diagonaleinträge sind, so dass das Volumen das Produkt davon ist. Nach
Lemma Anhang C.4
ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge, so dass im Betrag Gleichheit gilt. Damit gilt die Aussage auch für eine elementare Skalierungsmatrix, die ja eine Diagonalmatrix ist.
Da die Determinante der übrigen Elementarmatrizen
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {}
ist, müssen wir zeigen, dass das Volumen des von den Spaltenvektoren einer solchen
\definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{}
erzeugten Parallelotops gleich $1$ ist. Dies ist klar für den Typ (1), also für die elementare Vertauschungsmatrix, da es sich um den Einheitswürfel handelt, wobei lediglich die Reihenfolge der erzeugenden Vektoren geändert wird. Es bleibt also eine elementare Scherungsmatrix
\mathbed {A_{ij}(a)} {mit}
{a \neq 0} {und}
{i \neq j} {} {} {}
zu betrachten. Wegen
\zusatzklammer {Wir notieren nur die zweidimensionale Situation, da sich alles in zwei Zeilen und zwei Spalten abspielt} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^{-1} & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und dem schon bewiesenen kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Ferner kann man durch umnummerieren annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es geht dann um das Volumen des von
\mathdisp {e_1, e_1+e_2,e_3 , \ldots , e_n} { }
erzeugten Parallelotops, also um
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{P
}
{ =} { { \left\{ t_1 e_1 + t_2(e_1+e_2) +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (t_1 +t_2 )e_1 + t_2 e_2 +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \right\} }
}
{ =} { { \left\{ se_1 + t_2 e_2 +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \text{ für } i \geq 2,\, s \in [0,2] , \, t_2 \leq s \leq 1+ t_2 \right\} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_1
}
{ =} { { \left\{ se_1 + t_2 e_2 +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \text{ für } i \geq 2 , \, s \in [0,1],\, t_2 \geq s \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_2
}
{ =} { { \left\{ se_1 + t_2 e_2 +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \text{ für } i \geq 2 , \, s \in [1,2],\, s \geq 1+t_2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [0,2] \times[0,1] \times \cdots \times [0,1]
}
{ =} { H_1 \cup P \cup H_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Durchschnitte dieser drei Mengen jeweils in einer
\definitionsverweis {Hyperebene}{}{}
enthalten sind und daher nach
Lemma 66.11
das Maß $0$ besitzen. Also ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(P)
}
{ =} { 2 -\lambda^n(H_1) - \lambda^n(H_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits geht $H_2$ durch verschieben um $e_1$ aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_2
}
{ =} { { \left\{ se_1 + t_2 e_2 +t_3e_3 + \cdots + t_ne_n \mid t_i \in [0,1] \text{ für } i \geq 2 , \, s \in [0,1],\, s \geq t_2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hervor und besitzt damit wegen
der Translationsinvarianz
dasselbe Volumen wie $G_2$. Da
\mathl{H_1 \cup G_2}{} der Einheitswürfel ist, wobei der Durchschnitt wieder in einer Hyperebene liegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(H_1) + \lambda^n(H_2)
}
{ =} { \lambda^n(H_1) + \lambda^n(G_2)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(P)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Insbesondere kann man das Maßverhältnis bei einer linearen Abbildung mit einer beliebigen Teilmenge mit positivem Maß im Definitionsraum ablesen.
\inputfaktbeweis
{Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Bei einer
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {v} { av
} {,}
um den
\definitionsverweis {Streckungsfaktor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt für jede
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n( \varphi(T) )
}
{ =} { \betrag { a }^n \cdot \lambda^n(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 67.2.
\inputfaktbeweis
{R^n/Isometrie/Volumentreu/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{}
\maabbdisp {L} {\R^n} {\R^n
} {}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {volumentreu}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen Lemma 67.1 und Satz 67.2 aus Satz Anhang C.20.
\inputfaktbeweis
{R^2/Drehung/Flächentreu/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Drehung}{}{}
\maabbdisp {D(\alpha)} {\R^2} {\R^2
} {}
\zusatzklammer {die durch eine Drehmatrix \mathlk{\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}}{} gegeben ist} {} {}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {flächentreu}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen Satz 67.2 aus Satz 15.10(6).
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Ellipsoide.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Ellipsoide.png } {} {Anarkman} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Ein \stichwort {achsenparalleles Ellipsoid} {} wird im $\R^3$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid ax^2 +by^2+cz^2 \leq r^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Es ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitskugel}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_3
}
{ =} { { \left\{ (u,v,w) \mid u^2 +v^2+w^2 \leq 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R^3
} { \begin{pmatrix} u \\v\\ w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ r }{ \sqrt{a} } } & 0 & 0 \\ 0 & { \frac{ r }{ \sqrt{b} } } & 0 \\0 & 0 & { \frac{ r }{ \sqrt{c} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v\\ w \end{pmatrix}
} {,}
also mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ { \frac{ r }{ \sqrt{a} } } u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ { \frac{ r }{ \sqrt{b} } } v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ { \frac{ r }{ \sqrt{c} } } w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 67.2
ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{vol} \, ( E)
}
{ =} { { \frac{ r^3 }{ \sqrt{abc} } } \cdot \operatorname{vol} \, ( K_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Volumen der Einheitskugel ist
\mathl{{ \frac{ 4 }{ 3 } } \pi}{,} siehe
Beispiel 72.4.
}
\zwischenueberschrift{Volumina in euklidischen Räumen}
Auf jedem reellen $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ kann man ein sinnvolles Maß definieren, indem man eine Isomorphie \maabbdisp {} {\R^n} {V } {} nimmt und das Bildmaß zum Borel-Lebesgue-Maß nimmt. Dieses Maß ist allerdings abhängig von der gewählten Isomorphie, bei zwei verschiedenen Isomorphien unterscheiden sich die so gewonnenen Maße um einen skalaren Faktor. Bei euklidischen Räumen kann man aber mit Hilfe von Orthonormalbasen ein kanonisches Borel-Lebesgue-Maß definieren.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes
\definitionsverweis {translationsinvariantes Maß}{}{}
$\lambda_V$ auf den
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{}
von $V$, das jedem von einer
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\definitionsverweis {aufgespannten Parallelotop}{}{}
den Wert $1$ zuweist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ und es sei
\maabbeledisp {L_u} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
die dadurch definierte
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}
Dann ist das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{L_{u*} \lambda^n}{} nach
Lemma 67.1
\definitionsverweis {translationsinvariant}{}{}
und besitzt auf dem von den
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} erzeugten Parallelotop den Wert $1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert $1$ zuweist. Es sei also
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop
\mathl{P_v}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbeledisp {L_v} {\R^n} {V
} {e_i} {v_i
} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_u^{-1}(P_v)
}
{ =} { { \left( L_v^{-1} \circ L_u \right) }^{-1} { \left( L_v^{-1} (P_v) \right) }
}
{ =} { { \left( L_v^{-1} \circ L_u \right) }^{-1} (E)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $E$ den Einheitswürfel im $\R^n$ bezeichnet. Da
\mathl{L_v^{-1} \circ L_u}{} eine Isometrie des $\R^n$ ist, folgt die Aussage aus
Korollar 67.4.
Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls \stichwort {Borel-Lebesgue-Maß} {.}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,} sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und sei $P$ das davon
\definitionsverweis {erzeugte Parallelotop}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}
$\lambda_V$ auf $V$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_V(P)
}
{ =} { { \left( \det ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq n} \right) }^{1/2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Positivität der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
folgt aus
Korollar 48.11.
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n a_{kj} u_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Spalten der Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ (a_{kj})_{kj}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind also die Koeffizienten von $v_j$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach
Satz 67.2
und aufgrund der Definition des Maßes $\lambda_V$ in
Satz 67.7
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_V(P)
}
{ =} { \betrag { \det A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{k = 1}^n a_{ki} u_k , \sum_{k = 1}^n a_{kj} u_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n a_{ki} a_{kj}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { A^{ \text{tr} } } A
}
{ =} { ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{ij }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz Anhang C.13
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A
}
{ = }{ \det { A^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass sich die Aussage aus
Satz Anhang C.11
ergibt.
Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das $k$-dimensionale Maß eines $k$-dimensionalen Parallelotops im $\R^n$ auszurechnen
\zusatzklammer {ihr $n$-dimensionales Maß ist $0$, da sie in einem echten Untervektorraum liegen} {} {.}
Die einfachste Situation liegt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im $\R^3$.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das von den Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 \\2\\ 3 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 \\4\\ -2 \end{pmatrix}} {}
\definitionsverweis {aufgespannte Parallelogramm}{}{}
im $\R^3$. Nach
Satz 67.8
müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist
\mathdisp {\left\langle \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle = 13,\, \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\4\\ -2 \end{pmatrix} \right\rangle = 2,\, \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\4\\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\4\\ -2 \end{pmatrix} \right\rangle = 21} { . }
Dies führt zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 13 & 2 \\ 2 & 21 \end{pmatrix}} { }
mit der Determinante
\mathl{269}{.} Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also
\mathl{\sqrt{269}}{.}
}