Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
Zu einer konvergenten Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \sum _{ k= 0}^\infty c_k (x-a)^{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bilden die \anfuehrung{Teilpolynome}{}
\mathdisp {\sum_{k=0}^n c_k (x-a)^k} { }
polynomiale Approximationen für die Funktion $f$ im Punkt $a$. Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome
\zusatzklammer {oder eine Potenzreihe} {} {}
erhalten kann. Dies ist der Inhalt der \stichwort {Taylor-Entwicklung} {.}
\zwischenueberschrift{Taylor-Polynome}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Taylor_Brook_Goupy_NPG.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Brook Taylor (1685-1731)} }
\bildlizenz { Taylor Brook Goupy NPG.jpg } {Louis Goupy} {Astrochemist} {Commons} {PD} {}
Eine konvergente Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ \sum _{ k= 0}^\infty c_k (x-a)^{ k }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist in $a$ beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen im Punkt $a$ lassen sich aus der Potenzreihe ablesen. Es ist ja
\mathdisp {f(a) = c_0,\, f'(a) = c_1,\, f^{\prime \prime}(a) = 2c_2,\, f^{\prime \prime \prime }(a) =6c_3} { }
und allgemein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(k)} (a)
}
{ =} { (k!) c_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umgekehrt kann man aus den Ableitungen die Koeffizienten der Potenzreihe durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ =} { { \frac{ f^{(k)}(a) }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zurückgewinnen. Dabei ist die rechte Seite unabhängig davon definiert, ob eine Potenzreihe vorliegt, so lange die Funktion nur hinreichend oft differenzierbar ist. Man gewinnt daher über die Ableitungen gute Kandidaten für polynomiale Approximationen, nämlich die \stichwort {Taylor-Polynome} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge,
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
eine $n$-mal
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_{ a,n } ( f) ( x )
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Taylor-Polynom vom Grad}{}\zusatzfussnote {Oder genauer das Taylor-Polynom vom Grad $\leq n$. Wenn die $n$-te Ableitung in $a$ null ist, so besitzt das $n$-te Taylor-Polynom einen Grad kleiner als $n$. Man spricht häufig auch von der Ordnung des Taylor-Polynoms} {.} {}
$n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
} Die Funktion $f$ und ihr $n$-tes Taylor-Polynom stimmen im Punkt $a$ bis einschließlich zur $n$-ten Ableitung überein.
\inputbeispiel{}
{
Wir möchten für die Funktion
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {x} {x \sin x
} {,}
das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \sin x +x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { \cos x + \cos x -x\sin x
}
{ =} { 2 \cos x -x\sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime}(x)
}
{ =} { -2 \sin x - \sin x -x \cos x
}
{ =} { -3 \sin x -x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime \prime}(x)
}
{ =} { -3 \cos x - \cos x +x \sin x
}
{ =} { -4 \cos x +x \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter Verwendung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 4 } } { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f' { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( 1 + { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 4+\pi }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( 2 - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 8 - \pi }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( - 3 - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ -12-\pi }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( -4 + { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ -16 + \pi }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ ist daher
\mathdisp {{ \frac{ \pi }{ 4 \sqrt{2} } } + { \frac{ 4+\pi }{ 4 \sqrt{2} } } { \left( x - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } + { \frac{ 8- \pi }{ 8 \sqrt{2} } } { \left( x - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }^2 + { \frac{ -12-\pi }{ 24 \sqrt{2} } } { \left( x - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }^3 + { \frac{ -16 + \pi }{ 96 \sqrt{2} } } { \left( x - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }^4} { . }
}
\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel}
Die folgende \stichwort {Taylor-Formel} {} macht eine Aussage über die Güte der Approximation einer Funktion durch ihre Taylor-Polynome. Wir beschränken uns auf die reelle Situation. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich einfach um den Mittelwertsatz.
\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein innerer Punkt des Intervalls.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f( x) = \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } + \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 }} { . }
}
\faktzusatz {Dabei kann $c$ zwischen
\mathkor {} {a} {und} {x} {}
gewählt werden.}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ g_r(u)
}
{ \defeq} { f(x) - f(u) -f'(u) \cdot (x-u) - \frac{ f^{(2)}(u) }{2!} (x-u)^2- \ldots - \frac{ f^{(n)}(u) }{n!}(x-u)^n - \frac{r}{(n+1)! } (x-u)^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
den wir als Funktion in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auffassen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir wählen $r$ so, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, was möglich ist. Die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(u)
}
{ \defeq} {g_r(u)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist auf dem Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {]a,x[}
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. \mathlk{]x,a[}{,} falls
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {.} {}
differenzierbar
\zusatzklammer {nach $u$} {} {}
und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert $0$. Nach dem
Satz von Rolle
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,x[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der
Produktregel
und der
Kettenregel
ist
\zusatzklammer {Ableitung nach $u$} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( \frac{f^{(k)}(u) }{k!} (x-u)^k \right) }'
}
{ =} { \frac{f^{(k+1)}(u) }{k!} (x-u)^k - \frac{f^{(k)} (u)}{(k-1)!} (x-u)^{k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher heben sich in der Ableitung von $g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(u)
}
{ =} { - \frac{f^{(n+1)}(u) }{n!} (x-u)^n + \frac{r }{n!} (x-u)^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {g'(c)
}
{ =} { - \frac{f^{(n+1)}(c) }{n!} (x-c)^n + \frac{r }{n!} (x-c)^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ f^{(n+1)}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir dies und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in die Anfangsgleichung einsetzen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.
Eine gute Approximation für die Funktion erhält man daraus, wenn man den Betrag der
\mathl{(n+1)}{-}ten Ableitung abschätzen kann.
\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{,}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {innerer Punkt}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq }{ {\max { \left( \betrag { f^{(n+1)}(c) } , c \in I \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt zwischen
\mathl{f(x)}{} und dem $n$-ten
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
die Fehlerabschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) - \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } }
}
{ \leq} { \frac{B}{ (n+1)!}\betrag { x-a }^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Zahl $B$ existiert aufgrund von
Satz 13.10,
da nach Voraussetzung die
\mathl{(n+1)}{-}te Ableitung
\mathl{f^{(n+1)}}{} stetig auf dem
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
Intervall $I$ ist. Die Aussage folgt somit direkt aus
Satz 22.3.
\zwischenueberschrift{Anwendung auf Extrema}
\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein innerer Punkt des Intervalls.}
\faktvoraussetzung {Es gelte
\mathdisp {f'(a)= f^{\prime \prime}(a) = \ldots = f^{(n)}(a)=0 \text{ und } f^{(n+1)}(a) \neq 0} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn $n$ gerade ist, so besitzt $f$ in $a$ kein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{.}
}{Es sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $f$ in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{.}
}{Es sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $f$ in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Maximum}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Unter den Voraussetzungen wird die
Taylor-Formel
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)-f(a)
}
{ =} { \frac{ f^{ (n +1) } ( c )}{ (n +1)! } (x-a)^{ n +1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $c$
\zusatzklammer {abhängig von $x$} {} {}
zwischen
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
Je nachdem, ob
\mathkor {} {f^{(n+1)}(a)>0} {oder} {f^{(n+1)}(a) < 0} {}
ist, gilt auch
\zusatzklammer {wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung} {} {}
\mathkor {} {f^{(n+1)}(x)>0} {bzw.} {f^{(n+1)}(x) < 0} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[a-\epsilon,a+\epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein geeignetes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese $x$ ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [a-\epsilon,a+\epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} vom Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(a)}{} abhängt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Bei $n$ gerade ist
\mathl{n+1}{} ungerade und daher wechselt
\mathl{(x-a)^{n+1}}{} das Vorzeichen bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Vorzeichen negativ und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es positiv} {} {.}
Da das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von
\mathl{f(x)-f(a)}{.} Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist
\mathl{n+1}{} gerade, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x-a)^{n+1}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ > }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes Minimum}{}{}
vorliegt, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ < }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes Maximum}{}{}
vorliegt.}
{}
Für Polynome und allgemeiner für Funktionen, die durch eine Potenzreihe gegeben sind, lässt sich also stets allein unter Bezug auf die Ableitungen entscheiden, ob in einem Punkt ein lokales Extremum vorliegt. Bei Potenzreihen beruht dies auf dem
Identitätssatz.
\zwischenueberschrift{Die Taylor-Reihe}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sintay.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die reelle Sinusfunktion zusammen mit verschiedenen approximierenden Taylorpolynomen (von ungeradem Grad).} }
\bildlizenz { Sintay.svg } {} {Qualc1} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge,
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
eine $\infty$-oft
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { }
die \definitionswort {Taylor-Reihe}{} zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
}
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }}{} eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {positiven}{}{}
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $r$ und
\maabbdisp {f} {U { \left( a,r \right) }} {{\mathbb K}
} {}
die dadurch
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
im Entwicklungspunkt $a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus
Satz 20.9 durch
\definitionsverweis {Induktion}{}{.}
Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $a$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $f$ in $a$ den Wert
\mathl{c_n n!}{} besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus
Satz 20.9.
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/Umentwicklung/Durch Taylor-Reihe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann erhält man die umentwickelte Reihe im Entwicklungspunkt $b$ als
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
von $f$ in $b$.}
\faktzusatz {Insbesondere konvergiert die Taylor-Reihe in $b$ mit einem Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
}
{ \geq }{R-\betrag { a-b }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Nach dem Entwicklungssatz wird die Funktion $f$ in einer offenen Umgebung von $b$ durch eine Potenzreihe beschrieben. Somit folgt die Aussage aus Satz 22.7.
Das folgende Beispiel zeigt, dass die Taylor-Reihe existieren und auch konvergieren kann, ohne dass dadurch die vorgegebene Funktion dargestellt wird
\zusatzklammer {sie kann auch existieren ohne zu konvergieren} {} {.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} 0,\, \text{ falls } x \leq 0\, , \\ e^{- \frac{1}{x} },\, \text{ falls } x > 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von
\mathl{e^{- \frac{1}{x} }}{}
\zusatzklammer {und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt} {} {}
die Form
\mathl{p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }}{} mit gewissen Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{\R [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzen und dass davon der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
für
\mathl{x \rightarrow 0,\, x >0}{} stets $0$ ist
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 22.11
und
Aufgabe 22.12} {.} {.}
Daher ist der
\zusatzklammer {rechtsseitige} {} {}
Limes für alle Ableitungen gleich $0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert $0$
und daher ist die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
im Nullpunkt die
\definitionsverweis {Nullreihe}{}{.}
Die Funktion $f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die
\definitionsverweis {Nullfunktion}{}{,}
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{- \frac{1}{x} }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}