Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Gleichmäßige Stetigkeit}
Die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+
} {x} {1/x
} {,}
ist stetig. In jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( B \left( x,\delta \right) )
}
{ \subseteq }{ B \left( f(x),\epsilon \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei hängt das $\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit $\epsilon$, sondern auch von $x$ ab. Je kleiner $x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss $\delta$ gewählt werden, damit das Bild der $\delta$-Umgebung innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von
\mathl{f(x)}{} landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ findet, dass für alle $x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {gleichmäßig stetig}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{\epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig liegt also allein in der Reihenfolge der Quantoren. Das $\delta$, das es in beiden Konzepten zu einem vorgegebenen $\epsilon$ geben muss, hängt bei stetig nicht nur von $\epsilon$, sondern auch vom Punkt $x$ ab, bei gleichmäßig stetig dagegen nur von $\epsilon$.
\inputfaktbeweis
{Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
auf einem
\definitionsverweis {abgeschlossenen beschränkten Intervall}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-y }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt\zusatzfussnote {Von der Negation der gleichmäßigen Konvergenz her steht hier eigentlich
\mathl{> \epsilon}{,} doch $\geq \epsilon$ reicht für den anvisierten Widerspruch} {} {.}
Insbesondere gibt es somit für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n,y_n
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n)-f(y_n) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
besitzt die Folge $x_n$ eine in $\R$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{,}
deren Grenzwert, nennen wir ihn $x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert. Die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert nach
Aufgabe 6.5
ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann
nach dem Folgenkriterium
auch die beiden Bildfolgen
\mathkor {} {f(x_n)} {und} {f(y_n)} {}
gegen
\mathl{f(x)}{.} Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon'
}
{ < }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für $n$ hinreichend groß sowohl
\mathkor {} {\betrag { f(x_n) -f(x) } \leq \epsilon'} {als auch} {\betrag { f(y_n) - f(x) } \leq \epsilon'} {.} Dies ergibt
mit der Dreiecksungleichung
einen Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n) -f(y_n) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Fortsetzung von stetigen Funktionen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\tilde{ T }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{f}} { \tilde{ T } } { {\mathbb K}
} {}
eine \definitionswort {stetige Fortsetzung}{} von $f$, wenn $\tilde{f}$ stetig ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f}(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Eine stetige Funktion besitzt im Allgemeinen keine stetige Fortsetzung auf einen größeren Definitionsbereich. Beispielsweise kann die auf
\mathl{\R \setminus \{0\}}{} definierte Funktion
\mathl{x \mapsto x^{-1}}{} nicht stetig auf ganz $\R$ ausgedehnt werden. Ferner muss eine stetige Fortsetzung (oder Ausdehnung), wenn sie denn existiert, nicht eindeutig sein. Für beide Fragestellungen ist die Existenz von Funktionslimiten in Berührpunkten der Definitionsmenge entscheidend.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Berührpunkt}{} von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die gegen $x$ konvergiert.
}
\inputfaktbeweis
{Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \tilde{ T }
}
{ \subseteq }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}}
\faktvoraussetzung {wobei $\tilde{ T }$ aus
\definitionsverweis {Berührpunkten}{}{}
von $T$ bestehe. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \tilde{ T } \setminus T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiere der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{f}(a)
}
{ \defeq} { \begin{cases} f(a) \, ,\text{ falls } a \in T \, , \\ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) , \,\text{ falls } a \in \tilde{T} \setminus T \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Abbildung eine
\definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{}
von $f$ auf $\tilde{T}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \tilde{T}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da $a$ ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von $T$ ist und da der Grenzwert von $f$ in $a$ existiert
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert er aufgrund der Stetigkeit} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), \tilde{f}(a) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in T, \, d { \left( x, a \right) } \leq \delta}{.} Wir behaupten, dass die Stetigkeitsbedingung mit der Aufwandsgenauigkeit $\delta/2$ erfüllt ist. Es sei also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ \tilde{T}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( y, a \right) }
}
{ \leq }{ \delta/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ \leq }{\delta/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x) , \tilde{f}(y) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an $y$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, a \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( \tilde{f}(a), \tilde{f} (y) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( \tilde{f}(a), f(x) \right) } + d { \left( f(x) , \tilde{f} (y) \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und $\overline{ T }$ die Menge aller
\definitionsverweis {Berührpunkte}{}{}
von $T$.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {gleichmäßig stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{f}} { \overline{ T } } { {\mathbb K}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 14.5
genügt es zu zeigen, dass der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \overline{ T } \setminus T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $T$, die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb K}$ ist, und ${\mathbb K}$
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
ist, genügt es zu zeigen, dass eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
vorliegt.
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{}
von $f$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wegen der Konvergenz der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} handelt es sich nach
Lemma 6.8
um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(x_m) \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
die Folge
\mathl{x_0,y_0,x_1,y_1, \ldots}{} betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.}
{}
\inputfaktbeweis
{Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {\Q} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {gleichmäßig stetige}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
Satz 14.6
und aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Q }
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Reelle Exponentialfunktionen}
Für jede positive reelle Zahl $b$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $b^n$ eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe
Aufgabe 3.15.
Für eine weitere natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine positive reelle Zahl $y$ ist
\mathl{y^{1/m}}{} definiert. Für eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ n/m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^q
}
{ = }{ (b^n)^{1/m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von $q$, siehe
Aufgabe 14.12.
{Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\Q} {\R
} {q} {b^q
} {,}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{q+q'}
}
{ = }{b^q \cdot b^{q'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q'
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-q}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^q } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{q})^{q'}
}
{ = }{ b^{ q \cdot q'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q'
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^q
}
{ = }{ a^q \cdot b^q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.14. }
\inputfaktbeweis
{Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\Q} {\R
} {q} {b^q
} {,}
auf jedem
\definitionsverweis {beschränkten}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten Intervalle der Form
\mathl{[-n,n]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der
Monotonie
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q
}
{ \leq} { m
}
{ \defeq} {{\max { \left( b^n , b^{-n} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ [-n,n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die Folge
\mathl{{ \left( b^{1/k} \right) }_{ k \in \N }}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
nach
Aufgabe 7.21
gegen $1$, daher gibt es insbesondere ein $k$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b^{1/k}-1 }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ 1/k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q,q'
}
{ \in }{ [-n,n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { q'-q }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter Verwendung der
Funktionalgleichung
die Abschätzungen
\zusatzklammer {wir beschränken uns auf den Fall
\mathkor {} {b \geq 1} {und} {q' \geq q} {}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b^{q'}-b^q }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ b^{q'} }{ b^q } } -1 } \cdot b^q
}
{ \leq} { \betrag { b^{q'-q}-1 } \cdot m
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ m } } \cdot m
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exponentials(2).svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Exponentialfunktionen für die Basen $b=10, \frac{1}{2}$ und $e$.} }
\bildlizenz { Exponentials(2).svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Aufgrund von
Lemma 14.9
und
Korollar 14.7
\zusatzklammer {mit einem beliebigen Intervall
\mathl{[-n,n]}{} statt ganz $\Q$.} {} {}
lassen sich die zunächst nur auf $\Q$ definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $b$ eine positive \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} heißt \definitionswort {Exponentialfunktion}{} zur \stichwort {Basis} {} $b$.
}
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}\faktuebergangpos {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {b^x
} {,}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'}
}
{ = }{ b^x \cdot b^{x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'}
}
{ = }{ b^{ x \cdot x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x
}
{ = }{ a^x \cdot b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe
Aufgabe 14.17.
Es sei $x_n$ eine rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_n$ eine rationale Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach
Lemma 6.1 (1)
die Folge
\mathl{x_n+y_n}{} eine rationale Folge, die gegen
\mathl{x+x'}{} konvergiert. Somit ist unter Verwendung
der rationalen Funktionalgleichung
und von
Lemma 6.1 (2)
und der Stetigkeit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ b^{x+x'}
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n+y_n}
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( b^{ x_n} \cdot b^{y_n} \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n} \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{y_n} \right) }
}
{ =} { b^x b^{x'}
}
}
{}
{}{.}
Eine besondere Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir werden dafür bald eine weitere Beschreibung kennenlernen, die auch für komplexe Exponenten erklärt ist.