Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Logarithmen}
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \exp x
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {stetig}{}{} und stiftet eine Bijektion zwischen $\R$ und $\R_+$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Stetigkeit folgt aus Korollar 16.10. Nach Korollar 15.8 (4) liegt das Bild in $\R_+$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Korollar 15.8 (3), woraus wegen Korollar 15.8 (2), folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich $\R_+$. Die \definitionsverweis {Injektivität}{}{} ergibt sich aus Korollar 15.8 (6).
\inputdefinition
{}
{
Der \definitionswort {natürliche Logarithmus}{} \maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R } {x} { \ln x } {,} ist als die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der \definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{} definiert.
}
\inputfaktbeweis
{Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{}
\maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R
} {x} { \ln x
} {,}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {stetige}{}{,}
streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} stiftet. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln (x \cdot y)
}
{ =} { \ln x + \ln y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 17.1, Satz 13.6, Satz 15.7 und Korollar 15.8.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exponentials.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen} }
\bildlizenz { Exponentials.svg } {} {Superborsuk} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer positiven reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert man die
\definitionswort {Exponentialfunktion zur Basis}{}
$b$ von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^z
}
{ \defeq} { \exp (z \ln b )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Aufgabe 17.1 zeigt, dass für reelle Argumente diese Definition mit der aus der 14.ten Vorlesung übereinstimmt.
{Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Rechenregeln/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {a^z
} {,}
zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktuebergang {gelten die folgenden Rechenregeln
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
bei (4) sei zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^{z+w}
}
{ = }{ a^z \cdot a^w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^{-z}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ a^z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^z
}
{ = }{ a^z b^z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a^z)^w
}
{ = }{ a^{zw}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.2. }
\inputdefinition
{}
{
Zu einer positiven reellen Zahl
\mathbed {b>0} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
wird der
\definitionswort {Logarithmus zur Basis}{}
$b$ von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fonctionslog3.svg} }
\end{center}
\bildtext {Logarithmen zu verschiedenen Basen} }
\bildlizenz { Fonctionslog3.svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
{Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$}
\faktuebergang {erfüllen die folgenden Rechenregeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b(b^x) =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{}
$b$.
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z)
}
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\log_{ b } y^u
}
{ = }{u \cdot \log_{ b } y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} { \log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.3. }
\zwischenueberschrift{Summierbarkeit}
Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
ist, siehe
Aufgabe 9.16
und
Aufgabe 9.29.
Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe $\sum_{p \text{ Primzahl} } { \frac{ 1 }{ p } }$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte
\mathbed {a_ib_j} {}
{(i,j) \in \N \times \N} {}
{} {} {} {,}
wobei eben $\N^2$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Wir werden diese Theorie nicht systematisch entwickeln, sondern nur den großen Umordnungssatz beweisen, den wir sogleich für das Entwickeln einer Potenzreihen in einem neuen Entwicklungspunkt benötigen. Die Familie sei als
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
gegeben. Für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_E
}
{ =} { \sum_{i \in E} a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen $a_E$ Bezug nehmen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Diese Familie heißt \definitionswort {summierbar}{,} wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E -s }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_E
}
{ = }{ \sum_{i \in E} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im summierbaren Fall heißt $s$ die \definitionswort {Summe}{} der Familie.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Diese Familie heißt eine \definitionswort {Cauchy-Familie}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0 \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_D }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_D
}
{ = }{ \sum_{i \in D} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst die Familie
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
mit der Summe $s$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Zu
\mathl{\epsilon/2}{} gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E-s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für jede zu $E_0$
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
endliche Teilmenge $D$ gilt dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { a_D }
}
{ =} { \betrag { a_D +a_{E_0} -s -a_{E_0} +s }
}
{ \leq} { \betrag { a_D +a_{E_0} - s } + \betrag { a_{E_0} - s }
}
{ =} { \betrag { a_ {E_0 \cup D} - s } + \betrag { a_{E_0} - s }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{.}
Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_D }
}
{ \leq }{ 1/n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{ E_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} {a_{E_n}
}
{ =} { \sum_{i \in E_n} a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_k-x_m }
}
{ =} { \betrag { \sum_{i \in E_k} a_i - \sum_{i \in E_m} a_i }
}
{ =} { \betrag { a_{E_k \setminus E_m} }
}
{ \leq} { 1/m
}
{ \leq} { 1/n
}
}
{}{}{,}
da die Menge
\mathl{E_k \setminus E_m}{} disjunkt zu $E_m$ ist. Daher ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
und somit wegen der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
von ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$. Es sei dazu ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1/n
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes endliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \supseteq }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mathbed {E= E_n \cup D} {mit}
{E_n \cap D = \emptyset} {}
{} {} {} {.}
Damit gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { a_E -s }
}
{ =} { \betrag { a_{E_n} +a_D -s }
}
{ \leq} { \betrag { a_{E_n} -s } + \betrag { a_D }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
{Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Teilfamilie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathbed {a_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.10. }
\zwischenueberschrift{Der große Umordnungssatz}
\inputfaktbeweis
{Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
mit der Summe $s$. Es sei $J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {sei eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_j
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{\bigcup_{j \in J} I_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_j \cap I_{j'}
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{j'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{\zusatzfussnote {D.h. die $I_j$ bilden eine disjunkte Vereinigung von $I$} {.} {.}}}
\faktfolgerung {Dann sind die Teilfamilien
\mathbed {a_i} {}
{i \in I_j} {}
{} {} {} {,}
summierbar und für ihre Summen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_j
}
{ = }{ \sum_{i \in I_j} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, dass die Familie
\mathbed {s_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {\sum_{j \in J } s_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus
Lemma 17.10.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E -s }
}
{ \leq} { \epsilon/2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle endlichen Teilmengen
\mathbed {E \subseteq I} {mit}
{E_0 \subseteq E} {}
{} {} {} {.}
Es gibt eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ \subseteq }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq} { \bigcup_{j \in F_0 } I_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
Wir behaupten, dass dieses $F_0$ für die Familie
\mathbed {s_j} {,}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
die Summationseigenschaft für $\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu
\mathbed {F \subseteq J} {mit}
{F_0 \subseteq F} {}
{} {} {} {}
endlich und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ { \# \left( F \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Familien
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I_j} {}
{} {} {} {,}
summierbar mit den Summen $s_j$ sind, gibt es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endliches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_{j,0}
}
{ \subseteq }{ I_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_{G_j} -s_j }
}
{ \leq} { \epsilon/2n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle endlichen
\mathbed {G_j \subseteq I_j} {mit}
{G_{j,0} \subseteq G_{j}} {}
{} {} {} {.}
Wir wählen nun für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein solches $G_j$ so, dass zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0 \cap I_j
}
{ \subseteq }{ G_{j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq }{E
}
{ \defeq }{ \bigcup_{j \in F} G_j
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ = }{ \betrag { \sum_{i \in E} a_i -s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \sum_{j \in F} s_j -s }
}
{ =} { \betrag { \sum_{j \in F} { \left( s_j - a_{G_j} \right) } + \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ \leq} { \sum_{j \in F} \betrag { s_j - a_{G_j} } + \betrag { \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ \leq} { n \cdot \epsilon/2n + \betrag { \sum_{i \in E} a_i -s }
}
{ \leq} { n \cdot \epsilon/2n + \epsilon/2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Der Entwicklungssatz für Potenzreihen}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \sum _{ i= 0}^\infty d_i (z-b)^{ i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{ R-\betrag { a-b }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen
\definitionsverweis {dargestellten Funktionen}{}{}
auf
\mathl{U { \left( a,R \right) } \cap U { \left( b,s \right) }}{} übereinstimmen.}
\faktzusatz {Die Koeffizienten von $h$ sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_i
}
{ =} { \sum _{n = i}^\infty \binom{n}{i} c_n (b-a)^{n-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_1
}
{ =} {\sum _{n = 1}^\infty n c_n (b-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Zur Notationsvereinfachung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( b,R- \betrag { b } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Familie
\mathdisp {x_{ n i } = c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i},\, n \in \N,\, i \in \{ 0,1 , \ldots , n \}} { . }
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass diese Familie
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Dies folgt aus der Abschätzung
\zusatzklammer {unter Verwendung von
Aufgabe 17.14} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{n = 0 , \ldots , N,\, i = 0 , \ldots , n } \betrag { c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i} }
}
{ \leq} { \sum_{n = 0}^{ N} \betrag { c_n } { \left( \sum_{ i = 0 }^n \binom{n}{i} \betrag { z-b } ^{i} \betrag { b }^{n-i} \right) }
}
{ =} { \sum_{n = 0}^{ N} \betrag { c_n } { \left( \betrag { z-b } + \betrag { b } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und daraus, dass wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z-b } + \betrag { b }
}
{ < }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Lemma 16.7
die rechte Seite für beliebiges $N$ beschränkt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des
großen Umordnungssatzes
die Gleichungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^\infty c_n ( ( z-b) + b)^n
}
{ =} { \sum_{n = 0 }^\infty c_n { \left( \sum_{i = 0 }^n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i} \right) }
}
{ =} { \sum_{n \in \N ,\, i = 0 , \ldots , n } c_n \binom{n}{i} (z-b)^{i} b^{n-i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i = 0}^\infty { \left( \sum_{n = i}^\infty \binom{n}{i} c_n b^{n-i} \right) } (z-b)^{i}
}
{ =} { \sum_{i = 0}^\infty d_i (z-b)^{i}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}