Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 12




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis einer Topologie auf .
  2. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

    von einem Maßraum in einen Messraum .

  3. Die Messbarkeit einer numerischen Funktion

    wobei einen Messraum bezeichnet.

  4. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
  5. Die Tangentialabbildung

    zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  6. Das Wegintegral zu einer -Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve .


Lösung

  1. Ein System von offenen Mengen in heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in als Vereinigung von offenen Mengen aus erhalten kann.
  2. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen durch

    definierte Maß auf .

  3. Die numerische Funktion

    heißt messbar, wenn sie -messbar ist.

  4. Die Rotationsmenge zu ist
  5. Unter der Tangentialabbildung

    versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

  6. Das Wegintegral ist durch

    definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Messbarkeitskriterium für eine Abbildung

    zwischen

    Messräumen.
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. Es sei ein Erzeugendensystem für . Dann ist bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge mit das Urbild zu gehört.
  2. /Fakt
  3. /Fakt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


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Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg mit und .
  2. wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.


Lösung

Es sei ein Halbweg in wie angegeben und sei ein Kartengebiet mit einer Karte

mit

und mit

Unter der Tangentialabbildung wird auf den Ableitungsvektor von im Nullpunkt abgebildet. Da in verläuft, verläuft ganz in . Daher ist im Differenzenquotient

sowohl negativ als auch negativ und daher ist

gehört also zur positiven Hälfte.

Es gehöre umgekehrt zur positiven Hälfte. Dann verläuft die Gerade

für ganz in der negativen Hälfte. Der Weg ist auf einem negativen Intervall definiert und landet in und ist eine Halbwegrealisierung von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung