Kurs:Analysis 3/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	8	3	4	5	13	3	5	3	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die von einem Mengensystem $ℰ$ auf einer Menge $M$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma (ℰ)$.
2. Das Zählmaß auf einer Menge $M$.
3. Ein translationsinvariantes Maß auf $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$.
4. Eine $C^1$-differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt  $P\in M$  zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\phi :M⟶N,$

   wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Fatou.
2. Der Satz von Heine-Borel.
3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von $12$ cm und einen inneren Durchmesser von $4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von $20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Aufgabe * (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sei ein Maß $\mu$ durch

$\mu (\{n\})=n$

gegeben. Bestimme

$\mu (\{0,1,2,\dots ,n\}).$

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei $M$ eine Menge und es seien

$T_1,T_2,\dots ,T_n\subseteq M$

Teilmengen ($n\ge 1$). Wir betrachten die Menge $𝒜$, die aus allen Teilmengen von $M$ besteht, die man als Durchschnitte der Form

$S_1\cap \dots \cap S_k$

erhalten kann, wobei die Menge $S_i$ jeweils ein $T_j$ oder ein $M\setminus T_j$ ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von $M$ erhalten kann.

b) Zeige, dass es in $𝒜$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen $A_1,\dots ,A_m$ mit

$M=\underset{\ell =1}{\overset{m}{⨄}}{A}_{\ell }$

und mit der Eigenschaft gibt, dass jedes $A\in 𝒜$, $A\ne \mathrm{\varnothing }$, ein $A_{\ell }$ umfasst.

c) Zeige, dass man jede Menge $T_j$ als

$T_j=\underset{\ell \in L_j}{⨄}{A}_{\ell }$

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge  $L_j\subseteq \{1,\dots ,m\}$  darstellen kann.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei $\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${ℝ}^n$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei $U\subset {ℝ}^n$ ein echter Untervektorraum. Zeige $\mu (U)=0$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

$f(r,s,t)=rst+t\sin s$

über dem Einheitswürfel $W=[0,1{]}^3$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks  $Q=[-1,3]\times [0,2]$  unter der Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^3,y-x^2).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und einem Punkt  $P\in M$  derart, dass $M$ und $M\setminus \{P\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe * (13 (2+3+2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den  ${ℝ}^6={\left({ℝ}^2\right)}^3$  als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten  $P_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$,   $P_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$  und  $P_3=\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)$,  mit dem Koordinatentupel

$(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${ℝ}^6$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${ℝ}^6$, die wir $U$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${ℝ}^6$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${ℝ}^6$, die wir $V$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   $F:{ℝ}^6⟶ℝ$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion $F$ aus Teil (3) auf der Menge $U$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von $F$ nach $x_1$ auf $U$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang $1$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $V$ bildet. Was ist die Dimension?

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${ℝ}^3$ die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}x\\ 5\\ 7\end{array}\right).$

a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${ℝ}^3$ repräsentieren?

b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

$\Gamma =\{(x,e^x)\mid x\le 0\}$

um die $x$-Achse rotieren lässt, kleiner als $10$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der $1$-Differentialform

$\omega =\frac{x^2}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy$

auf  $U=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ne 0\}$. 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge  $N\subseteq M$  ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

$\partial N=\partial M\cap N$

gilt.