Kurs:Analysis 3/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 2 5 8 3 4 5 13 3 5 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die von einem Mengensystem auf einer Menge erzeugte -Algebra .
  2. Das Zählmaß auf einer Menge .
  3. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  4. Eine -differenzierbare Mannigfaltigkeit .
  5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    wobei und differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

  6. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Fatou.
  2. Der Satz von Heine-Borel.
  3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?


Aufgabe * (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen sei ein Maß durch

gegeben. Bestimme


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei eine Menge und seien

Teilmengen (). Wir betrachten die Menge , die aus allen Teilmengen von besteht, die man als Durchschnitte der Form

erhalten kann, wobei die Menge jeweils ein oder ein ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von erhalten kann.

b) Zeige, dass es in eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen mit

und mit der Eigenschaft, dass jedes , , ein umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge als

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge darstellen kann.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein translationsinvariantes Maß auf dem , das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ein echter Untervektorraum. Zeige .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe * (13 (2+3+2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten mit dem Koordinatentupel

identifizieren.

  1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in , die wir nennen).
  2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in , die wir nennen).
  3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

    beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

  4. Zeige, dass die Funktion aus Teil (3) auf der Menge stetig differenzierbar ist.
  5. Berechne die partielle Ableitung von nach auf .
  6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von bildet. Was ist die Dimension?


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

gilt.