Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 24

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Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Es sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Zeige, dass

exakt ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Es sei ein surjektiver -Modulhomomorphismus. Zeige, dass die induzierte Abbildung

nicht surjektiv sein muss.

Man denke an .

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein projektiver -Modul und ein weiterer -Modul. Zeige für .


Aufgabe

Zeige mit Hilfe der kurzen exakten Sequenz

dass zu

nicht der Nullmodul ist.


Aufgabe

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne die rechtsabgeleiteten Funktoren. Zeige, dass zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen

das Diagramm

kommutiert.



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