Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 23

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Aufgabe

Es sei eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus gibt, der (als Abbildung nach ) fortsetzt.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppe nicht divisibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen und divisibel sind. Ist auch divisibel?


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen mit nicht injektiv sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe divisibel ist.


Aufgabe

Beschreibe für die zyklische Gruppe eine divisible Gruppe mit


Aufgabe

Es sei eine divisible Gruppe und eine Menge. Zeige, dass die Gruppe ebenfalls divisibel ist.


Aufgabe

Es sei eine divisible Gruppe und eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Gruppe ebenfalls divisibel ist.


Aufgabe

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen injektiven und projektiven Moduln über einem kommutativen Ring .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven -Modul über einem kommutativen Ring derart, dass als kommutative Gruppe nicht divisibel ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen nicht injektiven -Modul über einem kommutativen Ring derart, dass als kommutative Gruppe divisibel ist.

Tipp: Betrachte .

Aufgabe

Es sei ein injektiver -Modul über einem kommutativen Ring und sei ein Nichtnullteiler. Zeige, dass die Multiplikation , , surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass jede kommutative Gruppe eine injektive Auflösung der Form

besitzt.


Aufgabe

Es sei , , eine Familie von injektiven Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum . Zeige, dass auch das direkte Produkt injektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Garbe der reellwertigen stetigen Funktionen auf nicht welk ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf einem diskreten topologischen Raum jede Garbe welk ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lokal konstante Garbe auf einem irreduziblen topologischen Raum welk ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lokal konstante Garbe auf einem topologischen Raum nicht welk sein muss.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein topologischer Raum. Zeige, dass die Garbe auf welk ist.


Aufgabe

Es sei , , eine Familie von welken Garben auf einem topologischen Raum . Zeige, dass auch das direkte Produkt welk ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer Zerlegung in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Zeige, dass die durch

genau dann welk ist, wenn und welk sind.



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