Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 25

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Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und eine Überdeckung mit (in ) offenen Intervallen. Zeige, dass man eine stetige Funktion

als

mit stetigen Funktionen und schreiben kann.


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

auf . Es sei eine Überdeckung mit (in ) offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der Quotientengarbe gegeben, der durch Schnitte und repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung repräsentiert wird.


Aufgabe

Es sei ein reelles abgeschlossenes Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

auf . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein reelles abgeschlossenes Intervall. Zeige


Aufgabe

Es sei eine diskrete topologische Gruppe mit zumindest zwei Elementen . Wir betrachten auf die exakte Garbensequenz

wobei hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in , also , bezeichnet. Es sei eine offene Überdeckung des Einheitskreises durch zwei sich überlappende Kreissegmente derart, dass der Durchschnitt aus zwei disjunkten Kreissegmenten und besteht. Es sei

ein Schnitt, der auf durch die Nullabbildung und auf durch eine Abbildung repräsentiert werde, die auf den konstanten Wert und auf den konstanten Wert besitze. Zeige, dass dieser Schnitt nicht durch ein Element aus repräsentiert werden kann und dass folglich ist.


Aufgabe

Zeige unter Verwendung von Beispiel 6.6, dass

ist (hier bezeichnet die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in der diskreten topologischen Gruppe ).


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt gibt, dessen einzige offene Umgebung der Gesamtraum ist.

  1. Zeige, dass das Spektrum eines lokalen Ringes diese Eigenschaft hat.
  2. Zeige, dass sämtliche Garben von kommutativen Gruppen auf keine nichtriviale Kohomologie besitzen.
  3. Zeige, dass nicht sämtliche Garben auf zu einem lokalen Ring welk sind.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und ein Ideal in mit der zugehörigen quasikohärenten Idealgarbe auf . Zeige unter Verwendung von Lemma 25.7, dass

ist.


Aufgabe

Sei der Polynomring über einem Körper mit dem maximalen Ideal . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von -Moduln

  1. Formuliere die kurze exakte Garbensequenz der zugehörigen quasikohärenten Moduln auf .
  2. Zeige, dass die Auswertung der Garbensequenz aus (1) auf nicht exakt ist.
  3. Was ist das Bild unter dem verbindenen Homomorphismus von

    in ?


Aufgabe

Es sei ein integres Schema mit dem Funktionenkörper . Es sei die Garbe der Einheiten auf und es sei die konstante Garbe zu . Zeige


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige


Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich . Zeige unter Verwendung von Beispiel 14.6, dass

ist.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass durch den Vorschub ein linksexakter kovarianter Funktor von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf in die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf gegeben ist.

Bemerkung: Die zugehörigen rechtsderivierten Funktoren nennt man höhere Bildgarben.



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