Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 25

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in ${}I$) offenen Intervallen. Zeige, dass man eine stetige Funktion

$f\colon U\cap V\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}f=g{|}_{U\cap V}-h{|}_{U\cap V}\,$

mit stetigen Funktionen ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf ${}I$. Es sei ${}I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in ${}I$) offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der Quotientengarbe ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )$ gegeben, der durch Schnitte ${}s\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,\mathbb {R} \right)}$ und ${}t\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung ${}r\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert wird.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles abgeschlossenes Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf ${}I$. Zeige, dass

$\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles abgeschlossenes Intervall. Zeige

${}H^{1}(I,C^{0}(-,\mathbb {R} ))=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe mit zumindest zwei Elementen ${}a\neq b$. Wir betrachten auf ${}S^{1}$ die exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei hier ${}G$ die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}G$, also ${}C^{0}(-,G)$, bezeichnet. Es sei ${}S^{1}=U\cup V$ eine offene Überdeckung des Einheitskreises durch zwei sich überlappende Kreissegmente derart, dass der Durchschnitt ${}U\cap V$ aus zwei disjunkten Kreissegmenten ${}A$ und ${}B$ besteht. Es sei

${}h\in \Gamma {\left(S^{1},\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\right)}\,$

ein Schnitt, der auf ${}V$ durch die Nullabbildung ${}0\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,G\right)}$ und auf ${}U$ durch eine Abbildung ${}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,G\right)}$ repräsentiert werde, die auf ${}A$ den konstanten Wert ${}a$ und auf ${}B$ den konstanten Wert ${}b$ besitze. Zeige, dass dieser Schnitt nicht durch ein Element aus ${}\operatorname {Abb} \,{\left(S^{1},G\right)}$ repräsentiert werden kann und dass folglich ${}H^{1}(S^{1},G)\neq 0$ ist.

Aufgabe

Zeige unter Verwendung von Beispiel 6.6, dass

${}H^{1}({\mathbb {C} }^{\times },\mathbb {Z} )\neq 0\,$

ist (hier bezeichnet ${}\mathbb {Z}$ die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in der diskreten topologischen Gruppe ${}\mathbb {Z}$).

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt ${}x\in X$ gibt, dessen einzige offene Umgebung der Gesamtraum ist.

1. Zeige, dass das Spektrum eines lokalen Ringes diese Eigenschaft hat.
2. Zeige, dass sämtliche Garben von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$ keine nichttriviale Kohomologie besitzen.
3. Zeige, dass nicht sämtliche Garben auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ zu einem lokalen Ring ${}R$ welk sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}I$ ein Ideal in ${}R$ mit der zugehörigen quasikohärenten Idealgarbe ${}{\widetilde {I}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige unter Verwendung von Lemma 25.7, dass

${}H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\widetilde {I}})=0\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {e\mapsto (Y,-X)}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {e_{1}\mapsto X,\,e_{2}\mapsto Y}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

1. Formuliere die kurze exakte Garbensequenz der zugehörigen quasikohärenten Moduln auf ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
2. Zeige, dass die Auswertung der Garbensequenz aus (1) auf ${}U=D(X,Y)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nicht exakt ist.
3. Was ist das Bild unter dem verbindenen Homomorphismus von

   ${}1\in R=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}\,$

   in ${}H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$?

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper ${}K$. Es sei ${}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ die Garbe der Einheiten auf ${}X$ und es sei ${}{\mathcal {U}}$ die konstante Garbe zu ${}K^{\times }$. Zeige

${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}/\operatorname {bild} {\left(K^{\times }\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige

${}H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\{1\}\,.$

Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\cong \mathbb {Z} [T]/(T^{2}+5)$. Zeige unter Verwendung von Beispiel 14.6, dass

${}H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{\times })\neq \{1\}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass durch den Vorschub ${}{\mathcal {G}}\mapsto f_{*}{\mathcal {G}}$ ein linksexakter kovarianter Funktor von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ in die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}Y$ gegeben ist.

Bemerkung: Die zugehörigen rechtsderivierten Funktoren nennt man höhere Bildgarben.