Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 28

Krümmung

Es seien ${}V$ und ${}W$ zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow M$ über ${}M$. Es ist

$\nabla _{W}\colon C^{2}(E)\longrightarrow C^{1}(E),\,s\longmapsto \nabla _{W}(s),$

die vertikale Ableitung. Auf das Ergebnis ${}\nabla _{W}(s)$ kann man wiederum die vertikale Ableitung in Richtung ${}V$ anwenden und erhält den stetigen Schnitt ${}\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}(s)\right)}$. Wenn alle Objekte ${}C^{\infty }$ sind, muss man sich über die Differenzierbarkeitsgrade keine Gedanken machen. Hier betrachten wir den Ausdruck

${}R(V,W)=\nabla _{V}\nabla _{W}-\nabla _{W}\nabla _{V}-\nabla _{[V,W]}\,,$

der aus (hinreichend differenzierbaren) Schnitten in ${}E$ wieder einen Schnitt in ${}E$ produziert. Dabei ist ${}[V,W]$ die Lie-Klammer von Vektorfeldern.

Definition

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren Vektorfeldern ${}V$ und ${}W$ auf ${}M$ die Abbildung

$C^{2}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{V}\nabla _{W}(s)-\nabla _{W}\nabla _{V}(s)-\nabla _{[V,W]}(s),$

den Krümmungsoperator zu ${}V$ und ${}W$. Er wird mit ${}R(V,W)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ offen und ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien ${}\partial _{i}$, ${}1\leq i\leq d$ die Standardvektorfelder und ${}s_{j}$, ${}1\leq j\leq r$ die Standardschnitte in ${}E$.

Dann gilt für den Krümmungsoperator

${}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})=\sum _{\ell =1}^{r}R_{ijk}^{\ell }s_{\ell }\,$

mit

${}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,$

wobei die ${}\Gamma _{ik}^{\ell }$ die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}}-\nabla _{[\partial _{i},\partial _{j}]}\\&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}},\end{aligned}}$

da ja die partiellen Ableitungen kommutieren und daher ihre Lie-Klammer gleich ${}0$ ist. Für einen Standardschnitt ${}s_{k}$ ist daher unter Verwendung von Lemma 25.10

${}{\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})&=\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{\partial _{j}}(s_{k}))-\nabla _{\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s_{k}))\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }+\Gamma _{jk}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }-\Gamma _{ik}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}\sum _{\rho =1}^{r}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-\Gamma _{ik}^{\ell }\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\right)}s_{\ell }.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R}$ vom Rang ${}1$ mit den Christoffelsymbolen ${}\Gamma _{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann gelten folgende Aussagen für den Krümmungsoperator zu den Standardvektorfeldern ${}\partial _{i}$.

1. Es ist

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\,.$

2. Genau dann ist ${}R(\partial _{i},\partial _{j})=0$ für alle ${}i,j$, wenn die ${}1$- Differentialform ${}\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i}dx_{i}$ geschlossen ist.

Beweis

1. Da der Rang des Bündels gleich ${}1$ ist, schreiben wir ${}\Gamma _{i}=\Gamma _{i1}^{1}$ und entsprechend ${}R_{ij}=R_{ij1}^{1}$, die Aussage ist als

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})(e)={\left(\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\right)}e\,$

   mit dem konstanten Einheitsschnitt ${}e$ zu verstehen. Nach der expliziten Beschreibung in Lemma 28.2 ist

   ${}R(\partial _{i},\partial _{j})={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}+\Gamma _{j}\Gamma _{i}-\Gamma _{i}\Gamma _{j}={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}\,.$

2. Dies folgt aus (1) und aus Aufgabe 20.8.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann erfüllt der Krümmungsoperator die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}R(V,W)=-R(W,V)\,.$

2. ${}R$ ist additiv in beiden Komponenten.
3. Für eine differenzierbare Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist

   ${}R(fV,W)=fR(V,W)\,.$

Beweis

Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im ${}\mathbb {R} ^{d}$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus Lemma 28.2. (2) folgt aus Lemma 24.10 und aus Lemma 11.8. (3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern ${}f\partial _{i}$ und ${}g\partial _{j}$. Es ist

${}R(f\partial _{i},g\partial _{j})=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}\,.$

Nach Lemma 11.8 ist

${}[f\partial _{i},g\partial _{j}]=f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}\,.$

Somit ist für einen Schnitt ${}s$ unter Verwendung von Satz 25.5

${}{\begin{aligned}R(f\partial _{i},g\partial _{j})(s)&=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}(s)-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}(s)-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{f\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(f\nabla _{\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+\nabla _{g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-f\nabla _{[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=fR(\partial _{i},\partial _{j})(s).\end{aligned}}$

Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine eindimensionale ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$.

Dann ist der Krümmungsoperator für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ trivial.

Beweis

Die Aussage ist lokal, daher können wir direkt ${}M=I$ ein offenes Intervall und ${}V=f\partial$, ${}W=g\partial$ mit dem Standardvektorfeld ${}\partial$ ansetzen. Nach Lemma 28.4  (3) ist

${}R(f\partial ,g\partial )=fgR(\partial ,\partial )=0\,$

wegen ${}[\partial ,\partial ]=0$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E=M\times \mathbb {R} ^{r}$ das triviale Vektorbündel mit dem trivialen Zusammenhang.

Dann ist für beliebige Vektorfelder ${}V,W$ der Krümmungsoperator ${}R(V,W)$ trivial.

Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also von ${}M=U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ausgehen. Nach Lemma 28.4  (3) können wir weiter auf den Fall reduzieren, dass die Vektorfelder Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$ sind. Nach Aufgabe 25.11 sind die Christoffelsymbole zum trivialen Zusammenhang trivial, also folgt die Aussage aus Lemma 28.2.

$\Box$

Der Satz von Frobenius

Den folgenden Satz können wir nicht vollständig beweisen. Man beachte, dass man es bei (lokal) gegebenen Basisschnitten den Christoffelsymbolen nicht ansieht, ob bezüglich anderen Basisschnitten die Christoffelsymbole verschwinden. Dies wird eben durch das verschwinden der Krümmung charakterisiert.

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$p\colon E\longrightarrow M$

ein differenzierbares Vektorbündel, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Der Zusammenhang ist lokal integrabel.
2. Der Zusammenhang ist lokal bezüglich geeigneter Basisschnitte isomorph zum trivialen Zusammenhang.
3. Für jeden Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}E{|}_{U}$ trivial ist und dass die zugehörigen Christoffelsymbole die Nullfunktionen sind.
4. Der Krümmungsoperator ist für beliebige Vektorfelder trivial.

Beweis

Alle Aussagen sind lokal, man kann also direkt von einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und dem trivialen Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{r}$ ausgehen. Sei (1) erfüllt. Dann kann man weiter annehmen, dass auf ${}U$ eine Familie von ${}r$ linear unabhängigen horizontalen Schnitten ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ gegeben ist. Nach Aufgabe 25.6 und Aufgabe 25.7 kann man dann den Zusammenhang lokal trivialisieren. Dies ergibt (2). Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Aufgabe 25.11 und auf Bemerkung 25.8. Wenn die Christoffelsymbole trivial sind, so sind die Standardschnitte horizontal und ergeben lokal horizontale Basisschnitte. Insgesamt sind also die ersten drei Formulierungen äquivalent. Wenn (2) gilt, so kann man lokal Korollar 28.6 anwenden und erhält, dass der Krümmungsoperator trivial ist.

Die Richtung von (4) nach (1) ist deutlich schwieriger.

$\Box$

Für Spezialfälle der Richtung von (4) nach (1) siehe Aufgabe 28.4 und Aufgabe 28.5.

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