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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 27

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine stetig differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang auf dem zurückgezogenen Vektorbündel über . Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt genau dann horizontal bezüglich ist, wenn der zugehörige Schnitt

horizontal bezüglich ist.


Aufgabe

Es sei das triviale Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit versehen mit dem trivialen Zusammenhang . Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang (auf ) ebenfalls trivial ist.


Aufgabe

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei ein offenes Intervall und eine stetig differenzierbare Kurve mit dem zurückgezogenen Zusammenhang auf dem zurückgezogenen Vektorbündel über . Bestimme die Christoffelsymbole von .


Aufgabe *

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung

des Einheitskreises. Es sei fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel

sei ein linearer Zusammenhang gegeben derart, dass der längs zurückgezogene Zusammenhang durch die Christoffelsymbole (der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen)

gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt die Abbildung

mit

  1. Bestimme .
  2. Bestimme .
  3. Zeige, dass eine horizontale Liftung längs ist.
  4. Zeige, dass

    eine lineare Isometrie ist (der Basispunkt wird hier nicht aufgeführt).

  5. Zeige, dass

    ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Bestimme für die Kurve

in die Halbebene von Poincaré die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ) auf .


Beachte in der folgenden Aufgabe, dass es nach Aufgabe 11.23 egal ist, ob man den Rückzug des Vektorbündels nach direkt oder über bestimmt.

Aufgabe

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es seien weitere differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit stetig differenzierbare Abbildungen

Zeige, dass für die zurückgezogenen Zusammenhänge auf die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang und sei

eine zweifach stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitungskurve ein horizontaler Schnitt im Tangentialbündel ist.


Aufgabe

Es sei ein offenes Intervall mit einer positiven stetig differenzierbaren Funktion

die wir als eine riemannsche Metrik auf auffassen. Charakterisiere die geodätischen Kurven

wobei ein weiteres Intervall bezeichnet.


Aufgabe *

Bestimme für die Kurve

in die Halbebene von Poincaré die tangentiale Beschleunigung für jedes .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit und zwei Punkte , die nicht durch eine geodätische Kurve verbunden werden können.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit und zwei Punkte , die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die alle die gleiche Länge haben.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit und zwei Punkte , die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die nicht die gleiche Länge haben.


Aufgabe *

Bestätige, dass das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

und

durch die Kurven

zu , gelöst wird.


Aufgabe

Wir betrachten Kreise mit Mittelpunkt und Radius . Charakterisiere, wann sich zwei solche Kreise schneiden.


Aufgabe

Es sei ein Punkt in der Halbebene von Poincaré und sei ein Tangentenvektor an .

  1. Bestimme einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der -Achse (mit vertikalen Geraden als Extremfall), der durch verläuft und tangential zu ist.
  2. Bestimme eine geodätische Kurve, die diesen Tangentenvektor realisiert.


Aufgabe

Es sei eine Isometrie zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten und .

  1. Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang zum Levi-Civita-Zusammenhang auf gleich dem Levi-Civita-Zusammenhang auf ist.
  2. Zeige, dass sich die tangentialen Beschleunigungen zu einer zweifach differenzierbaren Kurve bzw. entsprechen.
  3. Zeige, dass sich die geodätischen Kurven in und in entsprechen.


Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs definiertes differenzierbares Vektorfeld parallel längs ist, wenn

für alle gilt.


Für die folgende Aufgabe vergleiche Aufgabe 25.13.

Aufgabe

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche, die wir auch also eine riemannsche Mannigfaltigkeit über den umgebenden Raum mit dem Standardskalarprodukt auffassen. Es sei eine differenzierbare Kurve und es sei ein differenzierbares Vektorfeld längs . Zeige, dass genau dann parallel längs im Sinne von Definition 6.6 ist, wenn parallel längs bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs auf ist.


Aufgabe

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei eine zweifach differenzierbare Kurve. Zeige, dass genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitung

ein paralleles Vektorfeld ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf dem euklidischen Raum die riemannsche Metrik gleich dem euklidischen Abstand ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten mit der durch gegebenen riemannschen Metrik. Bestimme die geodätischen Kurven in .


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten die Kurve

in die Halbebene von Poincaré .

  1. Bestimme die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ) auf .
  2. Bestimme die tangentiale Beschleunigung von für jedes .


Aufgabe (4 Punkte)


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und sei

aufgefasst als riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem induzierten Standardskalarprodukt. Zeige, dass auf die riemannsche Metrik gleich dem euklidischen Abstand ist.




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