Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 23/kontrolle
- Übungsaufgaben
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Epimenides der Kreter sagte: „Alle Kreter sind Lügner“. Ist diese Aussage ein Widerspruch?
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Eine Person sagt: „Ich lüge (jetzt)“. Kann das wahr sein?
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In der Russellsche Antinomie wird die Definition
betrachtet. Kann eine Menge sein?
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Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.
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Die Klasse 8c hat an jedem Wochentag eine Stunde mathematische Logik. Der Lehrer sagt am Freitag: „nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, und das wird eine Überraschung sein“. Begründe, dass der Lehrer lügt.
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Das Brennersche Putzparadoxon besagt: „Immer wenn ich putze, sieht es danach so aus, wie bei einer durchschnittlichen Hausfrau vor dem Putzen“. Ist dies ein Widerspruch, eine Antinomie, ein Paradoxon, oder einfach nur mangelndes Talent?
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Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ist als neutrales Element der Addition und die ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ist die erste Primzahl, die ist die kleinste ungerade Primzahl, die ist die erste echte Quadratzahl, die ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?
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Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Ableitungsprädikat. Zeige aus den in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für einen Fixpunkt mit
dass weder noch gilt.
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Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
- Welche Eigenschaften aus Bemerkung 23.7 gelten in ?
- Gilt
in ?
- Welche der Ausdrücke gelten in ?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit
für alle . Zeige, dass es einen Satz mit
gibt.
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Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit
für alle . Zeige, dass es einen Satz mit
gibt.
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Wir setzen
und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei
wobei als die -fache Addition von mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit
gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien natürliche Zahlen und sei
wobei durch die -fache Summe der mit sich selbst realisiert werde. Zeige, dass es Sätze mit
und mit
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Folgere aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.
Aufgabe (6 Punkte)Aufgabe 23.17 ändern
Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das Ableitungsprädikat zu und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
Zeige, dass aus den in Bemerkung 23.7 angeführten Eigenschaften man
erhalten kann, wobei ein beliebiger Ausdruck ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
Zu einem beliebigen Ausdruck betrachten wir . Welche der Ausdrücke
gelten in ?
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat.
- Es gelte
für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte
Zeige, dass es einen Satz mit
gibt.
- Es gelte
für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte
Zeige, dass es einen Satz mit
gibt.
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