Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Warum sind mathematische Beweise schwierig, obwohl sie (zumindest für erststufige Aussagen) aufgrund des Vollständigkeitssatzes mit einem sehr begrenzten und übersichtlichen formalen Regelwerk durchgeführt werden können?

Aufgabe

Diskutiere Metasprache und Objektsprache anhand der Formulierung „im Widerspruch zur Widerspruchsfreiheit“ aus dem Beweis zu Lemma 15.1.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet (das mindestens eine Variable enthalte) einer Sprache erster Stufe und ${}T$ die zugehörige Termmenge. Zeige, dass man ${}T$ als Grundmenge einer Interpretation von ${}S$ nehmen kann, indem man Variablen, Konstanten und Funktionssymbole „natürlich“ und Relationssymbole willkürlich interpretiert.

Aufgabe

Zeige, dass es eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ geben kann, wobei die Variablenmenge aus ${}x_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, besteht, derart, dass es einen Ausdruck ${}\alpha$ mit ${}\exists x_{0}\alpha \in \Gamma$ und ${}\neg \alpha {\frac {x_{n}}{x_{0}}}\in \Gamma$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}PA$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Addition und Multiplikation ableitbaren Ausdrücken. Es sei ${}\alpha$ der erststufige Ausdruck, der die Goldbach-Vermutung ausdrückt. Was kann man über die Widerspruchsfreiheit von ${}PA\cup \{\alpha \}$ bzw. von ${}PA\cup \{\neg \alpha \}$ sagen? Was bedeutet dies für das in Lemma 15.5 beschriebene Verfahren?

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge, die über beliebig großen endlichen Grundmengen erfüllbar ist. Zeige, dass ${}\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, das allein aus der einzigen Variablen ${}x$ besteht. Zeige, dass die Menge aller ${}S$- Tautologien maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, das nur aus Variablen besteht. Es sei

${}\Delta =\{x=y\}\,,$

wobei ${}x,y$ verschiedene Variablen seien, und sei

${}\Gamma =\Delta ^{\vdash }\,.$

Zeige, dass ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Begründe, warum man im Allgemeinen bei der Hinzunahme von Beispielen (innerhalb des Beweises des Vollständigkeitssatzes) nicht für alle Existenzaussagen ${}\exists x\alpha \in L^{S}$ mit einer einzigen neuen Variablen ${}z$ arbeiten kann.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zeige

${}\Gamma ^{\vdash }=\bigcap _{I\vDash \Gamma }I^{\vDash }\,.$

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Endlichkeitssatzes für die Erfüllbarkeit, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind.

In dem beiden folgenden Aufgaben wird direkt ein nichtarchimedisch angeordneter Körper konstruiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Sei

${}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt

1. Entweder ist ${}F\in P$ oder ${}-F\in P$ oder ${}F=0$.
2. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F+G\in P$.
3. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F\cdot G\in P$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 15.12, dass man ${}Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Aufgabe

Man mache sich Gedanken zu den folgenden Zitaten aus Ludwig Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus.

„6.2 Die Mathematik ist eine logische Methode. Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze. 6.21 Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus“.

„6.22 Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in den Gleichungen“.

„6.2321 Und, dass die Sätze der Mathematik bewiesen werden können, heißt ja nichts anderes, als dass ihre Richtigkeit einzusehen ist, ohne dass das, was sie ausdrücken, selbst mit den Tatsachen auf seine Richtigkeit hin verglichen werden muss“.

„6.234 Die Mathematik ist eine Methode der Logik.

6.2341 Das Wesentliche der mathematischen Methode ist es, mit Gleichungen zu arbeiten. Auf dieser Methode beruht es nämlich, dass jeder Satz der Mathematik sich von selbst verstehen muss“.

„6.24 Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen zu kommen, ist die Substitutionsmethode“. (...)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}s,t$ nicht identische ${}S$- Terme. Zeige, dass es ein endliches ${}S$- Modell mit

${}I(s)\neq I(t)\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ derart, dass für die konstruierte Interpretation ${}I$ nicht ${}\Gamma \subseteq I^{\vDash }$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine abzählbare widerspruchsfreie Ausdrucksmenge. Zeige, dass ${}\Gamma$ ein erfüllendes Modell mit abzählbar vielen Elementen besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man die natürlichen Zahlen nicht erststufig festlegen kann.