Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt
ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Aus und folgt .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
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