Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 19/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe * Aufgabe 19.3 ändern

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe Aufgabe 19.4 ändern

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 19.6 ändern

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.



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