Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension

$n={\dim }_K\left(V\right).$

Es seien $n$ Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. $v_1,\dots ,v_n$ bilden eine Basis von $V$.
2. $v_1,\dots ,v_n$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
3. $v_1,\dots ,v_n$ sind linear unabhängig.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $d\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad $\le d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von $K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\le 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $ℝ[X]$ ist. Bestimme die Dimension dieses Vektorraums.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit  ${\dim }_K\left(V\right)=n$  und  ${\dim }_K\left(W\right)=m$.  Welche Dimension besitzt der Produktraum $V\times W$?

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_1,\dots ,v_n\text{ und }\mathrm{i}{v}_1,\dots ,\mathrm{i}{v}_n$

eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe

Es sei die Standardbasis $e_1,e_2,e_3,e_4$ im ${ℝ}^4$ gegeben und die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\\ 7\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -5\\ 1\end{array}\right).$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 21.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{ und }{v}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^4$.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}3+5\mathrm{i}\\ 1-\mathrm{i}\end{array}\right)\text{ und }{v}_2=\left(\begin{array}{c}2+3\mathrm{i}\\ 4+\mathrm{i}\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℂ}^2$.

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

$𝔳=\left(\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)\text{ und }𝔲=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$

im ${ℝ}^2$.

a) Zeige, dass sowohl $𝔳$ als auch $𝔲$ eine Basis des ${ℝ}^2$ ist.

b) Es sei  $P\in {ℝ}^2$  derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $𝔲$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔲$ beschreibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\le 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $ℝ[X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_1,\dots ,v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei

$U=⟨v_i,i=1,\dots ,m⟩$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von $U$ gleich $m$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -8\end{array}\right)\text{ und }{v}_3=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ -3\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^3$.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

$𝔳=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)\text{ und }𝔲=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

im ${ℝ}^3$.

a) Zeige, dass sowohl $𝔳$ als auch $𝔲$ eine Basis des ${ℝ}^3$ ist.

b) Es sei  $P\in {ℝ}^3$  derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $𝔲$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔲$ beschreibt.