Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Weiteres zum Minimalpolynom}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]/(P)} {K[f]
} {X} {f
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Einsetzung
\mathl{X \mapsto f}{} ergibt nach
Satz 13.7
den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X]} {L
} {X} {f
} {.}
Das Bild davon ist genau
\mathl{K[f]}{,} so dass ein surjektiver $K$-Algebrahomomor\-phismus
\maabbdisp {} {K[X]} {K[f]
} {}
vorliegt. Daher gibt es nach
Korollar 14.5
eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
zwischen
\mathl{K[f]}{} und dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach
Lemma 22.11
das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.
\inputfaktbeweis
{Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ über $K$ ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
} {Wenn
\mathl{Q \in K[X]}{} ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{P_1P_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { P(f)
}
{ =} { P_1(f) P_2(f)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen
\mathkor {} {P} {und} {P_1} {}
den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant
\zusatzklammer {$\neq 0$} {} {,}
also eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
sein.
} {Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $Q$ aufgrund von
Lemma 22.11
ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ GP
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich
\mathkor {sowohl} {P} {als auch} {Q} {}
normiert sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Algebraische Körpererweiterung}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{$f$ ist
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$.
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
\mathbed {P \in K[X]} {mit}
{P(f) =0} {}
{} {} {} {.}
}{Es besteht eine
\definitionsverweis {lineare Abhängigkeit}{}{}
zwischen den Potenzen
\mathdisp {f^0=1,f^1=f,f^2 , f^3, \ldots} { . }
}{Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra
\mathl{K[f]}{} hat endliche $K$-Dimension.
}{$f$ liegt in einer
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert.
$(2) \Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P\neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen.
$(3) \Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_i$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dieses ist nicht das Nullpolynom.
$(2) \Rightarrow (4)$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_n
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann kann man umstellen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ =} { -\sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } f^{ i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
D.h. $f^n$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen
\mathbed {f^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
ausdrücken kann.
$(4) \Rightarrow (5)$. Das ist trivial.
$(5) \Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktfolgerung {Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f]
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 23.1
liegt eine
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[X]/(P)
}
{ \cong }{ K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, wobei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $f$ ist. Nach
Lemma 23.2 (2)
ist $P$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
so dass wegen
Satz 15.1
der Restklassenring
\mathl{K[f]}{} ein Körper ist.
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugter Körper und Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die von $f$ über $K$
\definitionsverweis {erzeugte Unteralgebra}{}{}
und der von $f$ über $K$
\definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{} überein.}
\faktzusatz {Es gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f]
}
{ = }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f]
}
{ \subseteq }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring
\mathl{K[f]}{} aufgrund von
Satz 23.4
schon ein Körper.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann kann man zu
\mathbed {z = F(x)} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {mit \mathlk{F \in K[X], \,x = \overline{X}}{}} {} {}
auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind
\mathkor {} {P} {und} {F} {}
teilerfremde Polynome in
\mathl{K[X]}{} und daher gibt es nach
Satz 8.3
und
Korollar 8.6
eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ RF+SP
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Restklasse von $R$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{R}
}
{ = }{ R(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Inverse zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overline{F}
}
{ = }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Algebraischer Abschluss}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in L \mid x \text{ ist algebraisch über } K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {algebraischen Abschluss}{} von $K$ in $L$.
}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei $M$ der
\definitionsverweis {algebraische Abschluss}{}{} von $K$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Wir betrachten die von
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
erzeugte $K$-Unteralgebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{K[x,y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus allen $K$-Linearkombinationen der
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i, j \in \N} {}
{} {} {} {,}
besteht. Da
\mathkor {sowohl} {x} {als auch} {y} {}
algebraisch sind, kann man
nach Satz 23.3
gewisse Potenzen
\mathkor {} {x^{n}} {und} {y^{m}} {}
durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i <n} {}
{j<m} {} {} {,}
ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach
Satz 23.3
wieder algebraisch. Für das Inverse sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch. Dann ist
\mathl{K[z]}{} nach
Satz 23.4
ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1}
}
{ \in }{ K[z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst algebraisch.
\zwischenueberschrift{Algebraische Zahlen}
Die über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Eine komplexe Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn sie \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}
}
Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${\mathbb A}$ bezeichnet.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} }
\bildlizenz { Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg } {unbekannt} {JdH} {Commons} {PD} {http://www.math.uha.fr/Pi/trans.html}
\inputbemerkung
{}
{
Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden
\zusatzklammer {das allerdings nicht mehr normiert ist} {} {.}
Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms
\mathl{X-q}{} ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen
\mathkor {} {\sqrt{q}} {und} {q^{1/n}} {}
für
\mathl{q \in \mathbb Q}{} algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.
}