Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ring mit ${}0=1$ der Nullring ist.

Aufgabe *

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}\spadesuit ,\heartsuit$ und ${}\clubsuit$ Elemente in ${}R$. Berechne das Produkt

${\left(\spadesuit ^{2}-3\heartsuit \clubsuit \heartsuit -2\clubsuit \heartsuit ^{2}+4\spadesuit \heartsuit ^{2}\right)}{\left(2\spadesuit \heartsuit ^{3}\spadesuit -\clubsuit ^{2}\spadesuit \heartsuit \spadesuit \right)}{\left(1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit ^{2}\heartsuit \right)}.$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,a_{i},b_{j}\in R$. Zeige die folgenden Gleichungen:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}$

und

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Man mache sich dies auch für ${}k<0$ und ${}k\geq n$ klar.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe *

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
3. Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

${}A={\left\{f:M\rightarrow R\mid f{\text{ Abbildung}}\right\}}\,$

eine Ringstruktur.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f,g$ Nichtnullteiler in ${}R$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}S_{i}\subseteq R$, ${}i\in I$, Unterringe. Zeige, dass dann auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}S_{i}$ ein Unterring von ${}R$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Nullteiler und die Nichtnullteiler in ${}\mathbb {Z} /(12)$.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des nilpotenten Elementes in einem Ring.

Ein Element ${}a$ eines Ringes ${}R$ heißt nilpotent, wenn ${}a^{n}=0$ ist für eine natürliche Zahl ${}n$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}f,g\in R$ nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ${}f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von ${}\mathbb {Q}$ bildet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von ${}\mathbb {Z}$ und ${}2/3$ erzeugte Unterring von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass ${}R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${}3$ im Nenner schreiben lassen.