Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 1
- Übungsaufgaben
Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?
Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Es sei eine Menge und
sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche gibt es ein inverses Element?
Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids und eines Elementes derart, dass alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind.
Es sei eine Gruppe und ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Potenzgesetze, dass für gilt:
Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
Es sei eine Gruppe und , , eine Familie von Untergruppen. Zeige, dass der Durchschnitt
eine Untergruppe von ist.
Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.
a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.
b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?
Wir betrachten die Menge
mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung.
a) Berechne
b) Finde eine Lösung für die Gleichung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei und betrachte auf
die Verknüpfung
Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element (d.h. für alle ) und zu jedem gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element mit . Zeige, dass dann schon eine Gruppe ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
Aufgabe (7 (2+1+1+3) Punkte)
Wir betrachten ein gleichmäßiges Dreieck mit den Ecken und den folgenden sechs Abbildungen, die das Dreieck in sich selbst überführen, nämlich die Identität , die Drehung um Grad gegen de Uhrzeigersinn, die Drehung um Grad mit dem Uhrzeigersinn
(beide um den Schwerpunkt des Dreiecks),
und die
Achsenspiegelungen
an den
Höhen
zu . Wie setzen
.
a) Erstelle eine Verküpfungstabelle für .
b) Man folgere, dass eine
Gruppe
ist.
c) Bestimme die
Ordnung
eines jeden Gruppenelementes.
d) Bestimme die Untergruppen von .
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