Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,S\right)}\,$

sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche ${}F\in M$ gibt es ein inverses Element?

Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}G$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}f\colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann injektiv ist, wenn ${}f$ ein Linksinverses besitzt, und dass ${}f$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}f$ ein Rechtsinverses besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,\circ ,e)$ ein Monoid und ${}x,y,a\in M$.

a) Folgt aus ${}x=y$ die Beziehung ${}a\circ x=a\circ y$?

b) Folgt aus ${}a\circ x=a\circ y$ die Beziehung ${}x=y$?

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x,y\in G$. Drücke das Inverse von ${}xy$ durch die Inversen von ${}x$ und ${}y$ aus.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids ${}M$ und eines Elementes ${}m\in M$ derart, dass alle positiven Potenzen von ${}m$ vom neutralen Element verschieden sind.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein endliches Monoid. Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: Aus ${}ax=ay$ für ein ${}a\in \mathbb {N} _{+}$ folgt ${}x=y$. Zeige, dass ${}M$ eine Gruppe ist.

Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x\in G$ ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Potenzgesetze, dass für ${}m,n\in \mathbb {Z}$ gilt:

${}x^{mn}={\left(x^{m}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

${\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H_{i}\subseteq G$, ${}i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{i\in I}H_{i}$

eine Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

Zeige, dass auf ${}M$ durch

${}a\oplus b:={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<1\,,\\a+b-1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung.

a) Berechne

${\left({\left({\left({\left({\frac {4}{5}}\oplus {\frac {3}{4}}\right)}\oplus {\frac {2}{3}}\right)}\oplus {\frac {5}{7}}\right)}\oplus {\frac {1}{3}}\right)}.$

b) Finde eine Lösung für die Gleichung

${}{\frac {3}{5}}\oplus x={\frac {1}{2}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte auf

${}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$

die Verknüpfung

${}a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}\,$

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Man untersuche die Verknüpfung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element ${}e$ (d.h. ${}ex=x$ für alle ${}x\in M$) und zu jedem ${}x\in M$ gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element ${}y$ mit ${}yx=e$. Zeige, dass dann ${}M$ schon eine Gruppe ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels ${}\alpha =360/12=30$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

Aufgabe (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten ein gleichmäßiges Dreieck mit den Ecken ${}A,B,C$ und den folgenden sechs Abbildungen, die das Dreieck in sich selbst überführen, nämlich die Identität ${}I$, die Drehung ${}G$ um ${}120$ Grad gegen de Uhrzeigersinn, die Drehung ${}M$ um ${}120$ Grad mit dem Uhrzeigersinn (beide um den Schwerpunkt des Dreiecks), und die Achsenspiegelungen ${}S_{A},S_{B},S_{C}$ an den Höhen zu ${}A,B,C$. Wie setzen ${}E=\{I,G,M,S_{A},S_{B},S_{C}\}$.

a) Erstelle eine Verküpfungstabelle für ${}E$.

b) Man folgere, dass ${}E$ eine Gruppe ist.

c) Bestimme die Ordnung eines jeden Gruppenelementes.

d) Bestimme die Untergruppen von ${}E$.

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