Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Elementen ${}x,y,z,w\in R$, wobei ${}z$ und ${}w$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{x}}=x^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt, außer im Nullring.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

${}a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c)\,,$

nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2\neq 0$. Zeige, dass für ${}f,g\in K$ die Beziehung

${}fg={\frac {1}{4}}{\left({\left(f+g\right)}^{2}-{\left(f-g\right)}^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige für einen Körper ${}K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ${}a\in K$ ist die Abbildung

$\alpha _{a}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x+a,$

bijektiv.

(2) Für jedes ${}b\in K$, ${}b\neq 0$, ist die Abbildung

$\mu _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto bx,$

bijektiv.

Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge ${}\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ${}0=1$ ist.

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form ${}a+b{\mathrm {i} }$ mit reellen Zahlen ${}a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

1. ${}(5+4{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$.
2. ${}(2+3{\mathrm {i} })(2-4{\mathrm {i} })+3(1-{\mathrm {i} })$.
3. ${}(2{\mathrm {i} }+3)^{2}$.
4. ${}{\mathrm {i} }^{1011}$.
5. ${}(-2+5{\mathrm {i} })^{-1}$.
6. ${}{\frac {4-3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe *

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

1. ${}3$.
2. ${}5{\mathrm {i} }$.
3. ${}3+5{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe

Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ${}P=\mathbb {R} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen.

1. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\geq -3\right\}}$,
2. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 2\right\}}$,
3. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 5\right\}}$.

Aufgabe *

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$.
4. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${}z$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist ${}\vert {z}\vert =0$ genau dann, wenn ${}z=0$ ist.

4. ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert \,.$

5. ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,.$

6. Für ${}z\neq 0$ ist ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$.

7. ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$

Unter dem Ring der Gaußschen Zahlen versteht man alle Zahlen der Form

${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Unterring der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Wir erinnern an das Konzept eines angeordneten Körpers, die wichtigsten Beispiele sind ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {R}$.

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Aufgabe

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Einheiten (einschließlich ihrer inversen Elemente) von ${}\mathbb {Z} /(20)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

$(1+{\mathrm {i} })^{n}$

für ${}n=1,2,3,4,5$.

Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

${}(4-{\mathrm {i} })z=(6+5{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.
2. Es ist ${}{\overline {-z}}=-{\overline {z}}$.
3. Es ist ${}{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$.
4. Für ${}z\neq 0$ ist ${}{\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$.
5. Es ist ${}{\overline {\overline {z}}}=z$.
6. Es ist ${}{\overline {z}}=z$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Tipp: Verwende den komplexen Betrag.