Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}q,d,s\in \mathbb {N}$ mit ${}d\geq 1$ und ${}n=qd+s$. Zeige, dass der Rest von ${}n$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}s$ bei Division durch ${}d$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen und es seien ${}r$ bzw. ${}s$ die Reste von ${}a$ bzw. ${}b$ bei Division durch ${}d$. Zeige, dass der Rest von ${}a+b$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}r+s$ bei Division durch ${}d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

Aufgabe

Es seien ${}a,d\in \mathbb {N}$, ${}d\geq 1$. Zeige, dass bei Division mit Rest durch ${}d$ aller Potenzen von ${}a$ (also $a^{0},a^{1},a^{2},\ldots$) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also ${}i<j$ derart, dass sich die Reste von ${}a^{i},a^{i+1},a^{i+2},\ldots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also ${}a^{i}$ und ${}a^{j}$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei ${}a^{0}=1$ anfangen muss.

Aufgabe *

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(2-{\mathrm {i} })X^{5}+(3+{\mathrm {i} })X^{3}+(3-{\mathrm {i} })X-2{\mathrm {i} }$ und ${}T={\mathrm {i} }X^{2}+5X+6-2{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom ${}P$ durch ${}X^{m}$ teilt?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, eine Produktzerlegung

${}P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q\,$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ unerheblich ist, ob man sie in ${}K[X]$ oder in ${}L[X]$ durchführt.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Aufgabe *

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{3}-1$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${}\mathbb {R} [X]$ und in ${}{\mathbb {C} }[X]$ an.

Primfaktorzerlegung haben wir noch nicht begrifflich eingeführt. Gemeint ist eine faktorielle Zerlegung, die man nicht weiter aufspalten kann.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von ${}P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion ${}\delta$. Zeige, dass ein Element ${}f\in R$ (${}f\neq 0$) mit ${}\delta (f)=0$ eine Einheit ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=5X^{4}+3X^{3}+5X^{2}+3X+6$ und ${}T=3X^{2}+6X+4$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und ${}T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{4}-1.$

Man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${}\mathbb {R} [X]$ und in ${}{\mathbb {C} }[X]$ an.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.

Tipp: Man führe Induktion über den Grad und verwende den Fundamentalsatz der Algebra, Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.9

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Division mit Rest „${}5+7{\mathrm {i} }$ durch ${}2-3{\mathrm {i} }$“ im Sinne von Lemma 5.12 durch.