Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 28/kontrolle
- Konstruierbare Einheitswurzeln
Definition Referenznummer erstellen
Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl
eine konstruierbare Zahl ist.
Die Menge der komplexen Einheitswurzeln , , bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen -Ecks, wobei eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar, da diese ja Potenzen der primitiven Einheitswurzel sind. Das reguläre -Eck ist genau dann konstruierbar, wenn der -te Kreisteilungskörper ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist.
Bei kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen -Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus , also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach Fakt *****, da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von ist und die Menge der konstruierbaren Zahlen nach Fakt ***** unter quadratischen Körpererweiterungen abgeschlossen ist.
(man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist). Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten , und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in Beispiel ***** in Verbindung mit Fakt ***** bzw. in Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/5/Beschreibe animierte Konstruktion/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/5/Beschreibe animierte Konstruktion/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen -Ecken vorstellen. Zunächst untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Konstruierbarkeit des -Ecks und der Konstruierbarkeit des -Ecks, wenn ein Teiler von ist. In diesem Fall lässt sich das regelmßige -Eck in das regelmäßige -Eck einschreiben.
Lemma Referenznummer erstellen
Es sei , . Dann gelten folgende Aussagen.
- Das regelmäßige -Eck, , ist konstruierbar.
- Wenn das regelmäßige -Eck konstruierbar ist, so sind auch das regelmäßige -Eck und das regelmäßige -Eck konstruierbar.
- Wenn und teilerfremd sind und wenn das regelmäßige -Eck und das regelmäßige -Eck konstruierbar sind, so ist auch das regelmäßige -Eck konstruierbar.
Beweis
(1) folgt daraus, dass eine Winkelhalbierung stets mit Zirkel und Lineal
durchführbar
ist.
(2). Nach Voraussetzung ist
konstruierbar.
Dann ist auch nach
Fakt *****
die Potenz
konstruierbar.
(3). Es seien nun
und
konstruierbar und
und
teilerfremd. Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es dann ganze Zahlen mit
.
Daher ist auch
konstruierbar.
Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen -Ecke, die regelmäßigen -Ecke und die regelmäßigen -Ecke für jedes konstruierbar sind. Wenn man die Zahl als
schreibt, so wird mit dem Lemma die Konstruierbarkeit des -Ecks auf die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Ecks zu Prizmahlpotenzen zurückgeführt. Ein entscheidendes notwendiges Kriterium (das sich später auch als hinreichend erweist) für die Konstruierbarkeit wird im folgenden Satz formuliert.
Satz Referenznummer erstellen
Es sei eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige -Eck konstruierbar ist.
Dann ist eine Zweierpotenz.
Beweis
Die Voraussetzung besagt, dass die primitive Einheitswurzel konstruierbar ist. Dann muss nach Fakt ***** der Grad des Minimalpolynoms von eine Zweierpotenz sein. Nach Fakt ***** ist das Minimalpolynom von das -te Kreisteilungspolynom, und dieses hat den Grad . Also muss eine Zweierpotenz sein.
Der Beweis beruht darauf, dass der -te Kreisteilungskörper den Grad besitzt und dass im konstruierbaren Fall der Grad einer Körpererweiterung eine Zweierpotenz sein muss.
- Winkeldreiteilung
Wir sind nun in der Lage, das Problem der Winkeldreiteilung zu beantworten.
Korollar Referenznummer erstellen
Das regelmäßige -Eck ist
nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Beweis
Satz Referenznummer erstellen
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Beweis
Es genügt, einen (konstruierbaren) Winkel derart anzugeben, dass nicht konstruierbar ist. Wir betrachten Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von liegen. Dagegen ist der Winkel nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige -Eck konstruierbar wäre, was nach Fakt ***** aber nicht der Fall ist.
Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome(die wir nicht bewiesen haben) beruht.
Bemerkung Referenznummer erstellen
Wir zeigen direkt, dass man den Winkel Grad nicht konstruieren kann (obwohl man Grad konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt
und damit
Also wird vom Polynom annulliert. Dieses Polynom ist nach Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} irreduzibel. Also muss es nach Fakt ***** das Minimalpolynom von sein. Daher kann nach Fakt ***** nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig .
- Fermatsche Primzahlen
Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen -Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.
Definition Referenznummer erstellen
Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen
überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt.
Lemma Referenznummer erstellen
Bei einer Fermatschen Primzahl hat der Exponent die Form mit einem .
Beweis
Wir schreiben mit ungerade. Damit ist
Für ungerades gilt generell die polynomiale Identität (da eine Nullstelle ist)
Also ist ein Teiler von . Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet .
Satz
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
Beweis
die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Fakt ***** muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
Andererseits gilt nach Fakt ***** die Beziehung
(bei
ist der Ausdruck zu streichen).
Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten
(oder )
auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt
haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von
Fakt *****
lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl das regelmäßige -Eck
konstruierbar
ist. Dies haben wir für explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre -Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen
(bekannt oder nicht)