Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 15

Der Vorschub eines Weildivisors

Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ auf ${}C_{1}$ nennt man

${}\varphi _{*}D:=\sum _{P\in C_{1}}n_{P}\varphi (P)=\sum _{Q\in C_{2}}{\left(\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}n_{P}\right)}Q\,$

den vorgeschobenen Weildivisor.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt ${}P\in C_{1}$ auf den Punkt ${}\varphi (P)\in C_{2}$ abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus ${}\varphi _{*}$ fest.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Zu einem weiteren endlichen Morphismus ${}\psi \colon C_{2}\rightarrow C_{3}$ ist ${}(\psi \circ \varphi )_{*}=\psi _{*}\circ \varphi _{*}$.
2. Zu einem Divisor ${}D$ auf ${}C_{1}$ ist

   ${}\operatorname {Grad} \,(\varphi _{*}D)=\operatorname {Grad} \,(D)\,.$

3. Zu einem Weildivisor ${}D$ auf ${}C_{2}$ ist

   ${}\varphi _{*}(\varphi ^{*}(D))=d\cdot D\,.$

Beweis

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Satz 13.2.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe ${}G$.

1. Zu einem Weildivisor ${}D$ auf ${}C_{1}$ ist

   ${}\varphi _{*}(D)=\varphi _{*}(\sigma _{*}(D))\,$

   für ${}\sigma \in G$.

2. Zu ${}g\in Q(C_{2})$, ${}g\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

3. Zu einem Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit ${}f\in Q(C_{1})$, ${}f\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})=\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}\,,$

   wobei ${}N(f)$ die Norm bezeichnet.

Beweis

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf ${}C_{1}$, siehe Satz 21.2 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Lemma 15.2  (3) und Satz 14.13 mit

${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=\varphi _{*}\varphi ^{*}(\operatorname {div} {\left(g\right)})=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

(3). Es ist

${}N(f)=\prod _{\sigma \in G}\sigma \circ f\,.$

In der Divisorengruppe zu ${}C_{1}$ gilt

${}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}\,$

und daher ist nach (2) und (1)

${}d\cdot \operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}=d\cdot \varphi _{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung des Transzendenzgrades ${}1$ mit der zugehörigen glatten projektiven Kurve ${}C_{2}$ im Sinne von Satz 7.6. Das Element ${}a\in L$ besitze in ${}L$ keine ${}p$-te Wurzel und sei ${}M=L[Y]/(Y^{p}-a)$ der dadurch gegebene Erweiterungskörper von ${}L$ mit zugehöriger Kurve ${}C_{1}$ und dem zugehörigen endlichen Morphismus ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ im Sinne von Satz 7.12.

Dann gilt für den Vorschub eines Hauptdivisors

${}\varphi _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})=\operatorname {div} {\left(f^{p}\right)}\,.$

Beweis

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung ${}p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch ${}V\rightarrow V[X]/(X^{p}-b)=W$ mit einem ${}b\in V$ gegeben. Für eine Ortsuniformisierende ${}\pi _{1}\in V$ ist ${}\pi _{2}=u\pi _{1}^{p}$ mit einer Einheit ${}u$. Für ${}f\in W$ ist ${}f^{p}\in V$ und aus

${}f=v\pi _{2}^{n}\,$

folgt direkt

${}f^{p}=v^{p}\pi _{2}^{pn}=v^{p}\pi _{1}^{n}\,,$

die Ordnung von ${}f$ oben stimmt also mit der Ordung von ${}f^{p}$ unten überein.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven.

Dann werden unter dem Vorschub

$\varphi _{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C_{1}\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(C_{2}\right)},\,D\longmapsto \varphi _{*}D,$

Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.

Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus

$\varphi _{*}\colon \operatorname {DKG} {\left(C_{1}\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(C_{2}\right)}$

der Divisorenklassengruppen.

Beweis

Die Erweiterung der Funktionenkörper ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ besitzt nach Lemma Anhang 7.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) einen Zwischenkörper ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ derart, dass ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M$ separabel und ${}M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ rein-inseparabel ist. Dem entspricht gemäß Satz 7.12 eine Faktorisierung

$C_{1}\longrightarrow C\longrightarrow C_{2}.$

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Lemma 15.4 beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.

Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Lemma 15.3  (3) behandelt wurde. Es sei ${}Q(C)\subseteq Q(C_{1})\subseteq L$ insgesamt galoissch und ${}L=Q(C_{0})$ mit einer weiteren Kurve ${}C_{0}$ endlich über ${}C_{1}$. Wir betrachten also die Situation

$C_{0}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C_{1}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}C.$

Zu ${}D=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ behaupten wir wieder

${}\theta _{*}D=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}\,.$

Es ist

${}\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$

Nach Lemma 15.2  (3), Satz 14.13, Lemma 15.3  (3) und Gesetzen für die Norm ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \theta _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})&=\theta _{*}(\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\theta _{*}(\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=(\theta _{*}\psi _{*})(\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{0}}(f)\right)}\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f^{\operatorname {Grad} \,(\psi )})\right)}\\&=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Weildivisoren auf elliptischen Kurven

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit dem Nullpunkt ${}{\mathfrak {O}}\in E$. Es seien ${}P_{1},P_{2}\in E$.

Dann gibt es einen Punkt ${}A\in E$ derart, dass die Divisoren ${}P_{1}+P_{2}$ und ${}{\mathfrak {O}}+A$ zueinander linear äquivalent sind.

Beweis

Es sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit ${}F$ homogen vom Grad ${}3$. Bei ${}P_{1}\neq P_{2}$ betrachten wir die projektive Gerade ${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch die beiden Punkte. Bei ${}P_{1}=P_{2}$ betrachten wir die Tangente

${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ an den Punkt. Es wird ${}L$ durch eine Linearform ${}\ell _{1}\neq 0$ beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist ${}(\ell _{1})=P_{1}+P_{2}+P_{3}$, da ja ${}E\cap L$ aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte ${}P_{3},{\mathfrak {O}}$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform ${}\ell _{2}$ mit ${}(\ell _{2})=P_{3}+{\mathfrak {O}}+A$. Die Funktion ${}{\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}$ ist eine rationale Funktion auf ${}E$ und definiert den Hauptdivisor

${}{\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)}=P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\left(P_{3}+{\mathfrak {O}}+A\right)}=P_{1}+P_{2}-{\mathfrak {O}}-A\,.$

Damit ist ${}P_{1}+P_{2}={\mathfrak {O}}+A$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit dem Nullpunkt ${}{\mathfrak {O}}\in E$.

Dann ist die Abbildung

$E\longrightarrow \operatorname {DKG} _{0}{\left(E\right)},\,P\longmapsto P-{\mathfrak {O}},$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien ${}P,Q\in E$ verschiedene Punkte. Wenn ${}P-{\mathfrak {O}}$ und ${}Q-{\mathfrak {O}}$ zueinander linear äquivalent sind, so sind auch ${}P$ und ${}Q$ zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion ${}f$ auf ${}E$ mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=P-Q$. Wenn wir ${}f$ als einen Morphismus nach ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ auffassen, so hat dieser nach Korollar 14.14 den Grad ${}1$. Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$, was Satz 13.9 widerspricht.

Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor ${}D$ vom Grad ${}0$ gegeben, sagen wir ${}D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}-Q_{1}-Q_{2}-\cdots -Q_{n}$, wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Lemma 15.6 kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu

${}(n-1){\mathfrak {O}}+A-((n-1){\mathfrak {O}}+B)=A-B\,.$

Die Punkte ${}A$ und ${}{\mathfrak {O}}$ definieren wie in Lemma 15.6 eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt ${}C$. Ebenso definieren ${}B$ und ${}C$ eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt ${}D$. Es ist dann

${}A-B\sim A-B+(B+C+D-A-{\mathfrak {O}}-C)=D-{\mathfrak {O}}\,.$

Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Es sei ${}L$ die durch ${}P$ und ${}Q$ gegebene Gerade mit der Linearform ${}\ell _{1}$ und dem dritten Schnittpunkt ${}C$ und es sei ${}L_{2}$ die Gerade durch ${}C$ und ${}{\mathfrak {O}}$ mit der Linearform ${}\ell _{2}$ und dem dritten Schnittpunkt ${}D$. Nach Definition ist ${}D$ gleich ${}P+Q$ in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist

${}{\begin{aligned}\,[P]-[{\mathfrak {O}}]+[Q]-[{\mathfrak {O}}]&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]\\&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]+[{\mathfrak {O}}]+[D]-[P]-[Q]\\&=[D]-[{\mathfrak {O}}],\end{aligned}}$

es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.

$\Box$

Satz

Es seien ${}E_{1},E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

eine Isogenie.

Dann ist ${}\varphi$ ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{1}\right)}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi _{*}\!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{2}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, da

${}\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}\,$

ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Satz 15.7 Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Lemma 15.5 ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.

$\Box$

Unter étale kann man im folgenden Satz einfach überall unverzweigt verstehen.

Satz

Es sei ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$.

Dann ist ${}\varphi$ étale.

Beweis

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Satz 13.8 eine nichtleere offene affine Teilmenge ${}V\subseteq E_{2}$ derart, dass ${}\varphi ^{-1}(V)$ auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung

$\varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$

die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ${}0$ ist. Aus Satz 13.6 folgt somit, dass über einem jeden Punkt ${}Q\in V$ genau ${}n$ Punkte liegen, wobei ${}n$ den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ${}Q'\in E_{2}$ ein beliebiger Punkt und sei ${}P'\in E_{1}$ ein Punkt oberhalb von ${}Q'$. Wir fixieren einen Punkt ${}P\in V$ und einen Punkt ${}Q\in E_{1}$ oberhalb von ${}P$. Wir betrachten die Translation ${}\tau _{1}$ auf ${}E_{1}$ von ${}P$ nach ${}P'$ und die Translation ${}\tau _{2}$ auf ${}E_{2}$ von ${}Q$ nach ${}Q'$. Nach Satz 15.8 gilt

${}{\begin{aligned}\varphi (\tau _{1}(x))&=\varphi (x+P'-P)\\&=\varphi (x)+\varphi (P')-\varphi (P)\\&=\varphi (x)+Q'-Q\\&=\tau _{2}(\varphi (x)),\end{aligned}}$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {\tau _{1}}{\longrightarrow }}&E_{1}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {\tau _{2}}{\longrightarrow }}&E_{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. D.h. durch ${}\tau _{1}$ wird die Faser über ${}Q$ isomorph in die Faser über ${}Q'$ überführt und besteht auch aus genau ${}n$ Punkten.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,.$

Beweis

Dies folgt aus Satz 15.9, da nach Satz 13.6 für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.

$\Box$

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