Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 15

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Der Vorschub eines Weildivisors

Definition  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den vorgeschobenen Weildivisor.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt auf den Punkt abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus fest.



Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Zu einem weiteren endlichen Morphismus ist .
  2. Zu einem Divisor auf ist
  3. Zu einem Weildivisor auf ist

Beweis  

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Satz 13.2.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe .

  1. Zu einem Weildivisor auf ist

    für .

  2. Zu ist
  3. Zu einem Hauptdivisor mit , , ist

    wobei die Norm bezeichnet.

Beweis  

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf , siehe Satz 21.2 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Lemma 15.2  (3) und Satz 14.13 mit

(3). Es ist

In der Divisorengruppe zu gilt

und daher ist nach (1) und (2)

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.




Lemma  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei eine Körpererweiterung des Transzendenzgrades mit der zugehörigen glatten projektiven Kurve im Sinne von Satz 7.6. Das Element besitze in keine -te Wurzel und sei der dadurch gegebene Erweiterungskörper von mit zugehöriger Kurve und dem zugehörigen endlichen Morphismus im Sinne von Satz 7.12.

Dann gilt für den Vorschub eines Hauptdivisors

Beweis  

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch mit einem gegeben. Für eine Ortsuniformisierende ist mit einer Einheit . Für ist und aus

folgt direkt

die Ordnung von oben stimmt also mit der Ordung von unten überein.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven.

Dann werden unter dem Vorschub

Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.

Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus

der Divisorenklassengruppen.

Beweis  

Die Erweiterung der Funktionenkörper besitzt nach Lemma Anhang 7.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) einen Zwischenkörper derart, dass separabel und rein-inseparabel ist. Dem entspricht eine Faktorisierung

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Lemma 15.4 beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.

Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Lemma 15.3  (3) behandelt wurde. Es sei insgesamt galoissch und mit einer weiteren Kurve endlich über . Wir betrachten also die Situation

Zu behaupten wir wieder

Es ist

Nach Lemma 15.2  (3), Satz 14.13, Lemma 15.3  (3) und Gesetzen für die Norm ist



Weildivisoren auf elliptischen Kurven



Lemma  

Es sei eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper mit dem Nullpunkt . Es seien .

Dann gibt es einen Punkt derart, dass die Divisoren und zueinander linear äquivalent sind.

Beweis  

Es sei mit homogen vom Grad . Bei betrachten wir die projektive Gerade durch die beiden Punkte. Bei betrachten wir die Tangente

an den Punkt. Es wird durch eine Linearform beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist , da ja aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform mit . Die Funktion ist eine rationale Funktion auf und definiert den Hauptdivisor

Damit ist .




Satz  

Es sei eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper mit dem Nullpunkt .

Dann ist die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien verschiedene Punkte. Wenn und zueinander linear äquivalent sind, so sind auch und zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion auf mit . Wenn wir als einen Morphismus nach auffassen, so hat dieser nach Korollar 14.14 den Grad . Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu , was Satz 13.9 widerspricht.

Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor vom Grad gegeben, sagen wir , wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Lemma 15.6 kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu

Die Punkte und definieren wie in Lemma 15.6 eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt . Ebenso definieren und eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt . Es ist dann

Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte gegeben. Es sei die durch und gegebene Gerade mit der Linearform und dem dritten Schnittpunkt und es sei die Gerade durch und mit der Linearform und dem dritten Schnittpunkt . Nach Definition ist gleich in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist

es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.



Satz  

Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei

eine Isogenie.

Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

Beweis  

Wir können annehmen, dass algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, da

ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Satz 15.7 Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Lemma 15.5 ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.




Satz  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und .

Dann ist étale.

Beweis  

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Satz 13.8 eine nichtleere offene affine Teilmenge derart, dass auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung

die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ist. Aus Satz 13.6 folgt somit, dass über einem jeden Punkt genau Punkte liegen, wobei den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ein beliebiger Punkt und sei ein Punkt oberhalb von . Wir fixieren einen Punkt und einen Punkt oberhalb von . Wir betrachten die Translation auf von nach und die Translation auf von nach . Nach Satz 15.8 gilt

d.h. das Diagramm

kommutiert. D.h. durch wird die Faser über isomorph in die Faser über überführt und besteht auch aus genau Punkten.




Korollar  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist

Beweis  

Dies folgt aus Satz 15.9, da nach Satz 13.6 für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.


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