Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 28

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge operiert und sei ein Fundamentalbereich für diese Operation. Es sei eine Untergruppe und sei ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen . Zeige, dass

ein Fundamentalbereich der auf eingeschränkten Operation auf ist.


Aufgabe

Skizziere einen Fundamentalbereich für die Operation der Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe auf der oberen Halbebene gemäß Aufgabe 27.1 unter Verwendung des Repräsentantensystems für aus Aufgabe 27.6 und Lemma 9.9.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge operiere, und es sei eine Untergruppe. Zeige, dass es eine kanonische surjektive Abbildung

zwischen den Bahnenräumen gibt.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge operiere, und es sei ein Normalteiler. Zeige, dass auf dem Bahnenraum die Restklassengruppe in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum mit dem Bahnenraum übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe für konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über und es sei die zugehörige -Reihe. Zeige, dass die Potenzreihe für konvergiert.


Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.


Aufgabe

Es sei

eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.



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