Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 28

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer Menge ${}M$ operiert und sei ${}D\subseteq M$ ein Fundamentalbereich für diese Operation. Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und sei ${}R\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen ${}G/H$. Zeige, dass

$\bigcup _{g\in R}g(D)$

ein Fundamentalbereich der auf ${}H$ eingeschränkten Operation auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Skizziere einen Fundamentalbereich für die Operation der Hauptkongruenzuntergruppe ${}\Gamma (2)$ zur Stufe ${}2$ auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ gemäß Aufgabe 27.1 unter Verwendung des Repräsentantensystems für ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (2)$ aus Aufgabe 27.6 und Lemma 9.9.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer Menge ${}M$ operiere, und es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass es eine kanonische surjektive Abbildung

$M/H\longrightarrow M/G$

zwischen den Bahnenräumen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer Menge ${}M$ operiere, und es sei ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Zeige, dass auf dem Bahnenraum ${}M/H$ die Restklassengruppe ${}G/H$ in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum ${}{\left(M/H\right)}/{\left(G/H\right)}$ mit dem Bahnenraum ${}M/G$ übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\sqrt {n}}z^{n}$ für ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ und es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ die zugehörige ${}L$- Reihe. Zeige, dass die Potenzreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}q^{n}$ für ${}\vert {q}\vert <1$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten ${}n\geq 3$ zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

Aufgabe

Es sei

${}x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$

eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung ${}(x,y,z)$ in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.