Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 13/latex

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\setcounter{section}{13}

Wir entwickeln nun die allgemeine Theorie zu elliptischen Kurven über einem beliebigen Körper weiter, wobei die Situation über den komplexen Zahlen eine wichtige Orientierung liefert.






\zwischenueberschrift{Morphismen zwischen Kurven}

Wir untersuchen nun die Morphismen zwischen glatten projektiven Kurven genauer, insbesondere zwischen elliptischen Kurven, wobei wir insbesondere Satz 7.12 vertiefen werden. Als Hauptbeispiele sollte man eine rationale Funktion \maabbdisp {f} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {,} die durch die rationale Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ { \frac{ X }{ Z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Projektion \maabbdisp {} {E = V_+(Y^2Z-X^3-aXZ^2-bZ^3)} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} einer elliptischen Kurve auf die projektive Gerade oder die durch die Verdoppelung gegebene Abbildung \maabbdisp {[2]} {E} {E } {} \zusatzklammer {vergleiche Korollar 6.7} {} {} vor Augen haben. In positiver Charakteristik wird später der Frobenius eine ausgezeichnete Rolle spielen.




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {C} {und} {D} {} \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {algebraische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} {D } {} eine \definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{.} Dann nennt man den \definitionsverweis {Grad}{}{} der zugehörigen \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} der \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(D) }
{ \subseteq }{Q(C) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionswort {Grad}{} von $\varphi$.

}





\inputfaktbeweis
{Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Gradkonstanz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {C} {und} {D} {} \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {glatte Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} {D } {} eine \definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$.}
\faktfolgerung {Dann besteht für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Urbild $\varphi^{-1} (P)$ aus höchstens $n$ Punkten. Wenn man die Punkte mit Multiplizitäten zählt, so handelt es sich jeweils um genau $n$ Punkte.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also $R,S$ integre normale $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} vom endlichen Typ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $1$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei eine \definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{.} Es besitzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R) }
{ \subseteq }{Q(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$. Der Punkt $P$ entspreche dem maximalen Ideal ${\mathfrak p}$ von $R$. Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_{\mathfrak p} }
{ = }{S \otimes_{ R } R_{\mathfrak p} }
{ = }{ S_{ R \setminus {\mathfrak p} } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine freie \zusatzklammer {da torsionsfrei} {} {} $R_{\mathfrak p}$-Algebra von Rang $n$. Daher ist auch der \definitionsverweis {Faserring}{}{} über ${\mathfrak p}$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S \otimes_{ R } \kappa ({\mathfrak p} ) }
{ =} { S_{ R \setminus {\mathfrak p} } / {\mathfrak p} S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine freie $\kappa ({\mathfrak p} )$-Algebra vom Rang $n$, also ein $\kappa ({\mathfrak p} )$-Vektorraum der Vektorraumdimension $n$. Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension $n$ \zusatzklammer {das ist mit Multiplizität} {} {} gemeint. Dieser Ring hat die Form
\mathl{A_1 \times \cdots \times A_m}{,} wobei die $A_j$ $\kappa ({\mathfrak p} )$-Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { { \frac{ g }{ h } } }
{ \in} {K(X) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine nichtkonstante \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} in gekürzter Darstellung.}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Grad}{}{} der zugehörigen \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} \maabbeledisp {} {K(U)} {K(X) } {U} {f(X) } {,} gleich dem Maximum der \definitionsverweis {Grade}{}{} von \mathkor {} {g} {und} {h} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {x} { f(x) } {,} die außerhalb der Nullstellen von $h$ definiert ist. Es geht nach Satz 13.2 um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Faser durch
\mathl{{ \left\{ x \in K \mid { \frac{ g(x) }{ h(x) } } = a \right\} }}{} bzw. durch
\mathl{{ \left\{ x \in K \mid g(x) -a h(x) \right\} } = 0}{} charakterisiert. Dies ist \zusatzklammer {eventuell mit einzelnen Ausnahmen für $a$} {} {} eine polynomiale Bedingung für $x$, deren Grad das Maximum der Grade von \mathkor {} {g} {und} {h} {} ist.

}

Eine wichtige Frage ist, wie man die Punkte bestimmen kann, über denen es im Sinne von Satz 13.2 genau $n$ Urbildpunkte gibt, ohne dass man Multiplizitäten berücksichtigen muss. In Charakteristik $0$ ist dies das generische Verhalten.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem injektiven \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwischen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{} nennt man die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} einer \definitionsverweis {Ortsuniformisierenden}{}{} von $R$ in $S$ die \definitionswort {Verzweigungsordnung}{} der Erweiterung.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein injektiver \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwischen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{} heißt \definitionswort {verzweigt}{,} wenn seine \definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{} $\geq 2$ ist.

}

Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus \maabb {\varphi} {C} {D } {} zwischen glatten Kurven und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(Q) }
{ = }{P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf den zugehörigen Ringhomomorphismus \maabb {} {{\mathcal O}_{D,P}} {{\mathcal O}_{C,Q} } {} angewendet. In diesem Fall schreibt man
\mathl{\operatorname{Verz} { \left( Q {{|}} P \right) }}{} für die Verzweigungsordnung.





\inputfaktbeweis
{Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {C} {und} {D} {} \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {glatte Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} {D } {} eine \definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$.}
\faktfolgerung {Dann sind für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit lokalem Ring ${\mathcal O}_P$ die folgenden Aussagen äquivalent. \aufzaehlungvier{Die Faser über $P$ besteht aus genau $n$ Punkten. }{Die \definitionsverweis {Faser}{}{} über $P$ ist \definitionsverweis {reduziert}{}{.} }{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oberhalb von $P$ wird unter \maabbdisp {} { {\mathcal O}_P} { {\mathcal O}_Q } {} eine \definitionsverweis {Ortsuniformisierende}{}{} auf eine Ortsuniformisierende abgebildet. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ C {{|}} D } \right) }_Q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oberhalb von $P$. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir können direkt davon ausgehen, dass \mathkor {} {R} {und} {S} {} glatte \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $1$ sind, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endlich freie Ringerweiterung vom \definitionsverweis {Rang}{}{} $n$ ist und dass $P$ dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ entspricht,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathcal O}_P }
{ = }{R_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist \maabb {} {R_{\mathfrak m}} {S_{ R \setminus {\mathfrak m} } } {} die lokalisierte Version der Abbildung und \maabbdisp {} {K \cong R/ {\mathfrak m} } { S \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} } {} die Restklasssenversion. Dabei ist
\mathl{S \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} eine endlichdimensionale $K$-Algebra der \definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{} $n$ \zusatzklammer {und der Krulldimension $0$} {} {} und besitzt die Form
\mathl{A_1 \times \cdots \times A_m}{} mit lokalen $K$-Algebren der Krulldimension $0$. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von $A_i$ gleich $K$ und daher gibt es in der Faser genau dann $n$ Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Lemma 18.3 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Satz Anhang 2.2.

}





\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {C} {und} {D} {} \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {algebraische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} {D } {} eine \definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{.} Man nennt $\varphi$ \definitionswort {separabel}{,} wenn die zugehörige \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} der \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(D) }
{ \subseteq }{Q(C) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}

In Charakteristik $0$ sind die endlichen Morphismen nach Bemerkung 13.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel.





\inputfaktbeweis
{Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {C} {und} {D} {} \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {C} {D } {} eine \definitionsverweis {separable}{}{} \definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$.}
\faktfolgerung {Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Urbild $\varphi^{-1} (P)$ aus genau $n$ Punkten.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{,} wir arbeiten mit dem \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ S {{|}} R }}{} und wenden Satz 13.2 an. Nach Voraussetzung ist die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(D) }
{ =} {Q(R) }
{ \subseteq} {Q(C) }
{ =} {Q(S) }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{.} Daher gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ Q(S) {{|}} Q(R) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Satz Anhang 7.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Es ist $\Omega_{ Q(S) {{|}} Q(R) }$ nach Lemma 18.6 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} von $\Omega_{ S {{|}} R }$ an $S \setminus \{0\}$ bzw. an $R \setminus \{0\}$. Da der Kählermodul nach Korollar 19.4 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)) \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist, gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_f }
{ =} { \Omega_{ S_f {{|}} R_f } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In der abgeschlossenen Teilmenge $V(f)$, also außerhalb von $D(f)$, liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf $D(f)$ beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich $0$ ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Satz 13.6.

}





\inputfaktbeweis
{Projektive Gerade/Elliptische Kurve/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist jeder \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {E } {} konstant.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} Die elliptische Kurve $E$ liege in der \definitionsverweis {Legendre-Form}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x (x -1) (x- \lambda) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} vor. Es sei der Morphismus \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {E } {t} { \left( \varphi(t) , \, \psi(t) \right) } {,} gegeben, der
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^2(t) }
{ =} { \varphi(t) (\varphi(t)-1) (\varphi(t)- \lambda) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} erfüllt, wobei $\varphi, \psi$ rationale Funktionen in $t$ sind. Wir multiplizieren mit der dritten Potenz des Nenners von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ { \frac{ h }{ g } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und können dann von einer Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^2 g^3 }
{ =} { h(t) (h(t)- g(t)) (h(t)- \lambda g(t)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit teilerfremden Polynomen $h,g$ in $t$ ausgehen. Eine Nullstelle von $g$ ist keine Nullstelle von $h$ und damit auch keine Nullstelle von $h- g$ und
\mathl{h- \lambda g}{.}

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi }
{ = }{ { \frac{ r }{ s } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gekürzt. Da in der obigen Gleichung rechts ein Polynom steht, muss sich $g^3$ gegen $s^2$ wegkürzen. Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{ \alpha^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{ \beta \alpha^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Polynomen $\alpha, \beta$. Da die Nullstellen von $g$ rechts nicht auftreten, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es liegt also die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r^2 }
{ =} { h (h - \alpha^2) (h - \lambda \alpha^2 ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor. Eine Nullstelle links besitzt eine gerade Nullstellenordnung. Die Faktoren rechts haben keine gemeinsame Nullstelle, deshalb tritt in ihnen auch jede Nullstelle mit einer geraden Nullstellenordnung auf und deshalb liegen vier Quadrate
\mathdisp {\beta^2, \alpha^2, \beta^2 - \alpha^2, \beta^2 - \lambda \alpha^2} { }
in $K[t]$ vor, die projektiv unabhängig voneinander sind. Aus Satz Anhang 3.2 folgt, dass es sich um Konstanten handelt.

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurven/Morphismus/Rechnungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} \definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} {x^3 +ax+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichung von $E_1$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v^2 }
{ =} {u^3 +cu+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichung von $E_2$.}
\faktfolgerung {Dann ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u }
{ =} { \varphi(x,y) }
{ =} { f(x)+g(x) y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v }
{ =} { \psi(x,y) }
{ =} { p(x)+q(x) y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g,p,q }
{ \in }{ K(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {} {E_1} {E_2 } {} gegeben, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^2 + q^2 { \left( x^3+ax+b \right) } }
{ =} { f^3 + cf +3fg^2 (x^3+ax+b) + d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2pq }
{ =} { g^3 { \left( x^3+ax+b \right) } +3f^2g +cg }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Bedingung für einem Morphismus ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^2 }
{ =} { \varphi^3 + c \varphi +d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (p+qy)^2 }
{ =} { (f+gy)^3 +c(f+gy) +d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(p+qy)^2 }
{ =} { p^2 +q^2y^2 +2pqy }
{ =} { p^2 +q^2 { \left( x^3+xa+b \right) } +2pqy }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} und
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (f+gy)^3 +c(f+gy) +d }
{ =} { f^3+3f^2gy+3fg^2y^2+g^3y^3 +cf +d +cgy }
{ =} { f^3 +3fg^2 { \left( x^3+ax+b \right) } +cf+d + { \left( 3f^2g + g^3 { \left( x^3+ax+b \right) } + cg \right) } y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Resultat folgt mit Koeffizientenvergleich.

}


Bei der Verdoppelungsabbildung auf einer elliptischen Kurve in sich ist in der Notation von Lemma 13.10
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{p }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} siehe Korollar 6.7. In diesem Fall vereinfachen sich die beiden Bedingungen zu der einen Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q^2(x^3+ax+b) }
{ =} { f^3+af+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Funktionenkörper/Erweiterung über X/Grad/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} \definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} {x^3 +ax+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichung von $E_1$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v^2 }
{ =} {u^3 +cu+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichung von $E_2$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,q }
{ \in }{K(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {rationale Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q^2(x^3+ax+b) }
{ =} { f^3+cf+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} $f$ nicht konstant, und sei \maabbeledisp {\theta} {E_1} {E_2 } {(x,y)} {( f(x), q(x) y) } {} der zugehörige Morphismus im Sinne von Lemma 13.10.}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Grad}{}{} von $\theta$ gleich dem Maximum des Grades von Zähler und Nenner von $f$ in einer gekürzten Darstellung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die zugehörige Abbildung der \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{} ist durch \maabbdisp {\vartheta} {Q(E_2) = K(U)[V]/ { \left( V^2-U^3-cU-d \right) } } { Q(E_1) = K(X)[Y]/ { \left( Y^2-X^3-aX-b \right) } } {} mit
\mathl{U \mapsto f(X)}{} und
\mathl{V \mapsto q(X)Y}{} gegeben. Nach Definition ist der Grad der Kurvenabbildung der \definitionsverweis {Grad}{}{} dieser \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es liegt das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} K(U) & \stackrel{ U \mapsto f }{\longrightarrow} & K(X) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ K(U)[V]/ { \left( V^2-U^3-cU-d \right) } & \stackrel{ \vartheta }{\longrightarrow} & K(X)[Y]/ { \left( Y^2-X^3-aX-b \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei die vertikalen Einbettungen den Grad $2$ haben. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad der oberen Körpererweiterung zu bestimmen. Dieser ist das behauptete Maximum nach Lemma 13.3.

}