Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 15/latex

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\setcounter{section}{15}






\zwischenueberschrift{Der Vorschub eines Weildivisors}




\inputdefinition
{}
{

Zu einem nichtkonstanten \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {C_1} {C_2 } {} zwischen \definitionsverweis {glatten Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} und einem \definitionsverweis {Weildivisor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ \sum_P n_P \cdot P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $C_1$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*D }
{ \defeq} { \sum_{P \in C_1} n_P \varphi(P) }
{ =} { \sum_{Q \in C_2} { \left( \sum_{ P \in \varphi^{-1} (Q) } n_P \right) } Q }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {vorgeschobenen Weildivisor}{.}

}

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{C_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P) }
{ \in }{C_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus $\varphi_*$ fest.





\inputfaktbeweis
{Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {C_1} {C_2 } {} ein \definitionsverweis {endlicher Morphismus}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ zwischen \definitionsverweis {irreduziblen}{}{,} \definitionsverweis {glatten Kurven}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem weiteren endlichen Morphismus \maabb {\psi} {C_2} {C_3 } {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )_* }
{ = }{ \psi_* \circ \varphi_* }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Zu einem Divisor $D$ auf $C_1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Grad} \, (\varphi_*D) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, ( D) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem \definitionsverweis {Weildivisor}{}{} $D$ auf $C_2$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*( \varphi^*(D)) }
{ =} { d \cdot D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Satz 13.2.

}






\inputfaktbeweis
{Kurve/Morphismus/Galois/Vorgeschobener Divisor/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {C_1} {C_2 } {} ein \definitionsverweis {endlicher Morphismus}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ zwischen \definitionsverweis {irreduziblen}{}{,} \definitionsverweis {glatten Kurven}{}{,} die zugehörige Körpererweiterung der \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{} sei \definitionsverweis {galoissch}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einem \definitionsverweis {Weildivisor}{}{} $D$ auf $C_1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*(D) }
{ =} { \varphi_*( \sigma_*( D)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{Q(C_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_* \operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ =} { d \cdot \operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Zu einem \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{Q(C_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*( \operatorname{div} { \left( f \right) } ) }
{ =} { \operatorname{div} { \left( N(f) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $N(f)$ die \definitionsverweis {Norm}{}{} bezeichnet. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf $C_1$, siehe Satz 21.2 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Lemma 15.2  (3) und Satz 14.13 mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_* \operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ =} { \varphi_* \varphi^* (\operatorname{div} { \left( g \right) } ) }
{ =} { d \cdot \operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} (3). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(f) }
{ =} { \prod_{\sigma \in G} \sigma \circ f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In der Divisorengruppe zu $C_1$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( N(f) \right) } }
{ =} { \sum_\sigma \operatorname{div} { \left( \sigma \circ f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist nach (2) und (1)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d \cdot \operatorname{div} { \left( N(f) \right) } }
{ =} { \varphi_* \operatorname{div} { \left( N(f) \right) } }
{ =} { \sum_\sigma \varphi_* \operatorname{div} { \left( \sigma \circ f \right) } }
{ =} { d \cdot \varphi_* \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ } { }
} {}{}{.} Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.

}






\inputfaktbeweis
{Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} des \definitionsverweis {Transzendenzgrades}{}{} $1$ mit der zugehörigen glatten projektiven Kurve $C_2$ im Sinne von Satz 7.6. Das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitze in $L$ keine $p$-te Wurzel und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{L[Y]/(Y^p-a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der dadurch gegebene Erweiterungskörper von $L$ mit zugehöriger Kurve $C_1$ und dem zugehörigen \definitionsverweis {endlichen Morphismus}{}{} \maabb {\varphi} {C_1} {C_2 } {} im Sinne von Satz 7.12.}
\faktfolgerung {Dann gilt für den \definitionsverweis {Vorschub}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptdivisors}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*( \operatorname{div} { \left( f \right) } ) }
{ =} { \operatorname{div} { \left( f^p \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung $p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch \maabb {} {V} {V [X]/(X^p-b) = W } {} mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Für eine Ortsuniformisierende
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi_1 }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi_2 }
{ = }{ u \pi_1^p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer Einheit $u$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^p }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {v \pi_2^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^p }
{ =} {v^p \pi_2^{pn} }
{ =} { v^p \pi_1^{n} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Ordnung von $f$ oben stimmt also mit der Ordung von $f^p$ unten überein.

}






\inputfaktbeweis
{Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Hauptdivisor/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {C_1} {C_2 } {} ein \definitionsverweis {endlicher Morphismus}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ zwischen \definitionsverweis {irreduziblen}{}{,} \definitionsverweis {glatten Kurven}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann werden unter dem \definitionsverweis {Vorschub}{}{} \maabbeledisp {\varphi_*} { \operatorname{Div} { \left(C_1 \right) } } { \operatorname{Div} { \left(C_2 \right) } } {D} { \varphi_*D } {,} \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} auf Hauptdivisoren abgebildet.}
\faktzusatz {Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus \maabbdisp {\varphi_*} { \operatorname{DKG} { \left(C_1 \right) } } { \operatorname{DKG} { \left(C_2 \right) } } {} der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppen}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Die Erweiterung der Funktionenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(C_2) }
{ \subseteq }{ \Q(C_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt nach Lemma Anhang 7.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) einen Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(C_2) }
{ \subseteq }{ M }
{ \subseteq }{\Q(C_1) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(C_2) }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \Q(C_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{} ist. Dem entspricht gemäß Satz 7.12 eine Faktorisierung
\mathdisp {C_1 \longrightarrow C \longrightarrow C_2} { . }
Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Lemma 15.4 beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.

Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Lemma 15.3  (3) behandelt wurde. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(C) }
{ \subseteq }{Q(C_1) }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} insgesamt galoissch und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{Q(C_0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer weiteren Kurve $C_0$ endlich über $C_1$. Wir betrachten also die Situation
\mathdisp {C_0 \stackrel{\psi}{\longrightarrow } C_1 \stackrel{\theta}{\longrightarrow } C} { . }
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} behaupten wir wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \theta_*D }
{ =} { \operatorname{div} { \left( N^{C_1}_C(f) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_* \psi^*\operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\psi) \cdot \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Lemma 15.2  (3), Satz 14.13, Lemma 15.3  (3) und Gesetzen für die Norm ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Grad} \, (\psi) \cdot \theta_*( \operatorname{div} { \left( f \right) }) }
{ =} { \theta_*( \operatorname{Grad} \, (\psi) \cdot \operatorname{div} { \left( f \right) }) }
{ =} { \theta_*(\psi_* \psi^*\operatorname{div} { \left( f \right) } ) }
{ =} { (\theta_* \psi_*)( \operatorname{div} { \left( f \right) } ) }
{ =} { \operatorname{div} { \left( N^{C_0}_{C}(f) \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \operatorname{div} { \left( N^{C_1}_{C}(f^{ \operatorname{Grad} \, (\psi) } ) \right) } }
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\psi) \cdot \operatorname{div} { \left( N^{C_1}_{C }(f ) \right) } }
{ } { }
{ } {}
} {}{.}

}






\zwischenueberschrift{Weildivisoren auf elliptischen Kurven}





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Zwei Punkte/O+A/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ mit dem Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak O } }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1,P_2 }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Divisoren}{}{} \mathkor {} {P_1+P_2} {und} {{\mathfrak O } +A} {} zueinander \definitionsverweis {linear äquivalent}{}{} sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ = }{ V_+(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $F$ homogen vom Grad $3$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1 }
{ \neq }{P_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir die projektive Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch die beiden Punkte. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1 }
{ = }{P_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir die \definitionsverweis {Tangente}{}{}


\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an den Punkt. Es wird $L$ durch eine Linearform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell_1 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\ell_1) }
{ = }{ P_1+P_2 +P_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da ja
\mathl{E \cap L}{} aus drei Punkten \zusatzklammer {mit Multiplizitäten} {} {} besteht. Die Punkte $P_3, {\mathfrak O }$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform $\ell_2$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\ell_2) }
{ = }{ P_3+ {\mathfrak O } +A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Funktion
\mathl{{ \frac{ \ell_1 }{ \ell_2 } }}{} ist eine rationale Funktion auf $E$ und definiert den Hauptdivisor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ \ell_1 }{ \ell_2 } } \right) } }
{ =} {P_1+P_2 +P_3 - { \left( P_3+ {\mathfrak O } +A \right) } }
{ =} { P_1+P_2 - {\mathfrak O } -A }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1+P_2 }
{ = }{ {\mathfrak O } +A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isomorphie zur Divisorenklassengruppe/Grad 0/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ mit dem Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak O } }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} {E} { \operatorname{DKG}_0 { \left(E \right) } } {P} { P- {\mathfrak O } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verschiedene Punkte. Wenn \mathkor {} {P- {\mathfrak O }} {und} {Q- {\mathfrak O }} {} zueinander linear äquivalent sind, so sind auch \mathkor {} {P} {und} {Q} {} zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion $f$ auf $E$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ = }{ P-Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn wir $f$ als einen Morphismus nach ${\mathbb P}^{1}_{K}$ auffassen, so hat dieser nach Korollar 14.14 den Grad $1$. Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu ${\mathbb P}^{1}_{K}$, was Satz 13.9 widerspricht.

Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor $D$ vom Grad $0$ gegeben, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ P_1+P_2 + \cdots + P_n -Q_1 -Q_2 - \cdots - Q_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Lemma 15.6 kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n-1) {\mathfrak O } +A -( (n-1) {\mathfrak O } +B) }
{ =} { A-B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Punkte \mathkor {} {A} {und} {{\mathfrak O }} {} definieren wie in Lemma 15.6 eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $C$. Ebenso definieren \mathkor {} {B} {und} {C} {} eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $D$. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A-B }
{ \sim} { A-B + (B+C+D-A- {\mathfrak O }-C) }
{ =} { D- {\mathfrak O } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Es sei $L$ die durch \mathkor {} {P} {und} {Q} {} gegebene Gerade mit der Linearform
\mathl{\ell_1}{} und dem dritten Schnittpunkt $C$ und es sei $L_2$ die Gerade durch \mathkor {} {C} {und} {{\mathfrak O }} {} mit der Linearform
\mathl{\ell_2}{} und dem dritten Schnittpunkt $D$. Nach Definition ist $D$ gleich
\mathl{P+Q}{} in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \, [P] -[{\mathfrak O }] +[Q] - [ {\mathfrak O } ] }
{ =} { [P]+[Q]-2 [ {\mathfrak O } ] }
{ =} { [P]+[Q]-2 [ {\mathfrak O } ] + [ {\mathfrak O } ] + [D] -[P]- [Q ] }
{ =} { [D]- [{\mathfrak O }] }
{ } { }
} {} {}{,} es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.

}





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien $E_1,E_2$ \definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine \definitionsverweis {Isogenie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} E_1 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{DKG}_0 { \left(E_1 \right) } & \\ \!\!\!\!\! \, \, \varphi \downarrow & & \downarrow \varphi_* \!\!\!\!\! & \\ E_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{DKG}_0 { \left(E_2 \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( {\mathfrak O }_1) }
{ =} { {\mathfrak O }_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Satz 15.7 Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Lemma 15.5 ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.

}

Unter étale kann man im folgenden Satz einfach überall unverzweigt verstehen.





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Etale/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine \definitionsverweis {separable}{}{} \definitionsverweis {Isogenie}{}{} zwischen den \definitionsverweis {elliptischen Kurven}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ \definitionsverweis {étale}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Satz 13.8 eine nichtleere offene \definitionsverweis {affine Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{E_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mathl{\varphi^{-1}(V)}{} auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung \maabbdisp {\varphi} { \varphi^{-1}(V)} {V } {} die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich $0$ ist. Aus Satz 13.6 folgt somit, dass über einem jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau $n$ Punkte liegen, wobei $n$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q' }
{ \in }{E_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein beliebiger Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P' }
{ \in }{E_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt oberhalb von $Q'$. Wir fixieren einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{E_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oberhalb von $P$. Wir betrachten die Translation $\tau_1$ auf $E_1$ von $P$ nach $P'$ und die Translation $\tau_2$ auf $E_2$ von $Q$ nach $Q'$. Nach Satz 15.8 gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi ( \tau_1 (x)) }
{ =} { \varphi ( x+P'-P ) }
{ =} { \varphi(x) + \varphi(P') - \varphi(P) }
{ =} { \varphi(x) + Q' - Q }
{ =} { \tau_2( \varphi(x)) }
} {} {}{,} d.h. das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} E_1 & \stackrel{ \tau_1 }{\longrightarrow} & E_1 & \\ \!\!\!\!\! \, \, \varphi \downarrow & & \downarrow \varphi \!\!\!\!\! & \\ E_2 & \stackrel{ \tau_2 }{\longrightarrow} & E_2 & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. D.h. durch $\tau_1$ wird die Faser über $Q$ isomorph in die Faser über $Q'$ überführt und besteht auch aus genau $n$ Punkten.

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine \definitionsverweis {separable}{}{} \definitionsverweis {Isogenie}{}{} zwischen den \definitionsverweis {elliptischen Kurven}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \# \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } }
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 15.9, da nach Satz 13.6 für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.

}