Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 24/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Die Zeta-Funktion}

Es sei $X$ eine Varietät, die über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} ${\mathbb F}_{ q }$ mit $q$ Elementen definiert sei. Diese Varietät besitzt endlich viele Punkte, die über ${\mathbb F}_{ q }$ definiert sind. Nennen wir diese Anzahl $N_1$. Aufgrund der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ q } }
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q^r } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {siehe Korollar 16.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))} {} {} kann man $X$ auch über ${\mathbb F}_{ q^r }$ auffassen und dessen Punkteanzahl, nennen wir sie $N_r$, bestimmen. Wenn $X$ in einem affinen oder projektiven Raum durch Gleichungen beschrieben wird, so kann man direkt die Gleichungen über ${\mathbb F}_{ q^r }$ auffassen und die Punkte zählen, deren Koordinaten zu ${\mathbb F}_{ q^r }$ gehören. Wenn $X$ nicht eingebettet vorliegt, so muss man
\mathl{X \times_{ {\mathbb F}_{ q } } {\mathbb F}_{ q^r }}{} betrachten und dort die Anzahl der Punkte mit Restekörper ${\mathbb F}_{ q^r }$ bestimmen. Eine faszinierende Frage ist nun, ob es bei den Anzahlen
\mathl{N_1,N_2, \ldots}{} Gesetzmäßigkeiten gibt, und wie diese mit weiteren Eigenschaften von $X$ zusammenhängen. Die Suche nach diesen Gesetzmäßigkeiten war eine treibende Kraft in der Entwicklung der algebraischen Geometrie in der zweiten Hälfte des 20.sten Jahrhunderts \zusatzklammer {Weil, Grothendieck, Deligne} {} {.} Es ist auf den ersten Blick überraschend, dass die folgende formale Funktion der richtige Ansatz ist, die Teilinformationen der $N_r$ in ein einziges analytisches \zusatzklammer {funktionentheoretisches} {} {} Objekt zusammenzufassen.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {Varietät}{}{} über einem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} ${\mathbb F}_{ q }$ und es bezeichne $N_r$ die Anzahl der Punkte von $X( {\mathbb F}_{ q^r })$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t) }
{ =} { Z(X;t) }
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Zeta-Funktion}{} von $X$.

}

Genauer spricht man von der Weilschen Zeta-Funktion. Formal handelt es sich einfach um eine Potenzreihe in $t$ mit rationalen Koeffizienten. Aufgrund der Definition der Exponentialreihe handelt es sich um die Reihe
\mathdisp {1 + { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots\right) } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots\right) }^2+ { \frac{ 1 }{ 6 } } { \left( N_1t + N_2 { \frac{ t^2 }{ 2 } } + N_3 { \frac{ t^3 }{ 3 } } + \ldots\right) }^3 + \ldots} { . }




\inputbeispiel{}
{

Der $n$-dimensionale \definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{ {\mathbb F}_{ q } }}{} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} besitzt
\mathl{1+q+q^2 + \cdots + q^n}{} Elemente, siehe Aufgabe 3.11, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N_r }
{ =} { 1+q^r+q^{2r} + \cdots + q^{rn} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ (1-t)(1-qt)(1-q^2t) \cdots (1-q^nt) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies bestätigt man, indem man beidseitig den \definitionsverweis {Logarithmus}{}{} anwendet. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } }
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty ( 1+q^r+q^{2r} + \cdots + q^{rn} ) { \frac{ t^r }{ r } } }
{ =} { \sum_{i = 0}^n \ln { \frac{ 1 }{ 1-q^it } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu zeigen. Mit der \definitionsverweis {Logarithmusreihe}{}{} ist aber für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln { \frac{ 1 }{ 1 -q^i t } } }
{ =} { - \ln \left( 1 -q^i t \right) }
{ =} { - \sum_{r = 1}^\infty (-1)^{r+1} { \frac{ (-q^i t)^r }{ r } } }
{ =} { \sum_{r = 1}^\infty q^{ir} { \frac{ t^r }{ r } } }
{ } { }
} {}{}{.}


}

Das Ergebnis im vorstehenden Beispiel ist typisch und zeigt bereits die Stärke und Prägnanz der Zeta-Funktion: Sie ist für eine glatte projektive Varietät $X$ stets eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} in $t$. Wenn $n$ die Dimension von $X$ ist, so gibt es ganzzahlige Polynome $P_i(t)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{i }
{ \leq }{2n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z(t) }
{ =} { { \frac{ P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) }{ P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese starke Aussage beinhaltet insbesondere die keineswegs selbstverständliche Aussage, dass endlich viele der Anzahlen $N_r$ bereits alle Anzahlen bestimmen.

In die Zeta-Funktion zu einer Varietät über ${\mathbb F}_{ q }$ wird für $t$ oft $q^{-s}$ eingesetzt, wobei $s$ eine komplexe Variable \zusatzklammer {typischerweise mit einer Beschränkung durch den Realteil} {} {} ist, wodurch dann eine Funktion in $s$ entsteht.






\zwischenueberschrift{Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve}

Im Falle einer glatten projektiven Kurve hat die Zeta-Funktion die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t) }
{ =} { { \frac{ P_1(t) }{ (1-t)(1-qt) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das Zählerpolynom $P_1(t)$ ist ein Polynom vom Grad $2g$, wenn $g$ das Geschlecht der Kurve bezeichnet. Im Fall einer elliptischen Kurve werden wir dieses Zählerpolynom vom Grad $2$ bestimmen.





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} ${\mathbb F}_{ q }$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_1 }
{ = }{ { \# \left( E({\mathbb F}_{ q }) \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei $\ell$ eine von der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von ${\mathbb F}_{ q }$ verschiedene \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Es sei \maabbdisp {\Phi} {E_{ \overline{ K } }} {E_{ \overline{ K } } } {} der $e$-te ${ \overline{ K } }$-\definitionsverweis {lineare Frobenius}{}{} auf $E_{ \overline{ K } }$ und \maabb {\Phi_\ell} { T_\ell(E) } {T_\ell(E) } {} die zugehörige Abbildung auf dem $\ell$-adischen \definitionsverweis {Tate-Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $\Phi_\ell$ ist
\mathdisp {T^2 -( q+1-N_1 ) T +q} { . }
}{Dieses Polynom ist als reelles Polynom nichtnegativ. }{Die komplexen Nullstellen \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} des charakteristischen Polynoms sind zueinander komplex-konjugiert und ihr Betrag ist $\sqrt{q}$. }{Das charakteristische Polynom von $\Phi_\ell^n$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(T- \alpha^n)(T- \beta^n) }
{ =} { T^2 - (\alpha^n+ \beta^n) T + \alpha^n\beta^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ q^n }$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) } }
{ =} { q^n+1 - \alpha^n - \beta^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungfuenf{Wir ziehen Satz 18.14 heran. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( \Phi_\ell \right) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, (\Phi) }
{ =} { q }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Lemma 23.1. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( \Phi_\ell \right) } }
{ =} { 1 + \operatorname{Grad} \, (\Phi) - \operatorname{Grad} \, ( \operatorname{Id}_{ E } - \Phi) }
{ =} { 1 + q - N_1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung von Lemma 23.6. Daraus ergibt sich das charakteristische Polynom von $\Phi_\ell$ zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T^2 -(q+1-N_1)T +q }
{ =} { T^2 +(N_1-q-1)T +q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Nichtnegativität des Polynoms kann man wegen der Stetigkeit mit rationalen Zahlen testen. Sei also ${ \frac{ r }{ s } }$ eine rationale Zahl. Der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${ \frac{ r }{ s } }$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \left( T \operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }- \Phi_\ell \right) ({ \frac{ r }{ s } }) }
{ =} { \det \left( { \frac{ r }{ s } } \operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }- \Phi_\ell \right) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^2 } } \det \left( r \operatorname{Id}_{ T_\ell(E) }-s \Phi_\ell \right) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ s^2 } } \operatorname{Grad} \, ( [r] -s \Phi ) }
{ \geq} {0 }
} {} {}{.} }{Nach (2) besitzt das charakteristische Polynom entweder eine doppelte reelle Nullstelle oder zwei nicht reelle zueinander komplex-konjugierte Nullstellen. So oder so ist ihr Betrag gleich, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha \beta }
{ =} { q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha } }
{ = }{ \betrag { \beta } }
{ = }{ \sqrt{q} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Das charakteristische Polynom zu $\Phi_\ell$ kann man über ${\mathbb C}$ als
\mathl{(X-\alpha)(T- \beta)}{} schreiben. Eine solche Zerlegung hat man auch über dem algebraischen Abschluss von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q( \hat{\Z}_\ell) }
{ =} { \Q_\ell }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {bzw. schon in einer quadratischen Erweiterung von $\Q_\ell$} {} {.} Dabei sind $\alpha, \beta$ \zusatzklammer {genauer $\alpha_\ell, \beta_\ell$} {} {} die Eigenwerte von $\Phi_\ell$. Somit sind $\alpha^n, \beta^n$ die Eigenwerte von $\Phi_\ell^n$ und das charakteristische Polynom zu $\Phi_\ell^n$ ist
\mathl{(T- \alpha^n) (T- \beta^n)}{.} Die entstehenden Polynome haben wieder ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es egal, ob man über ${\mathbb C}$ oder über
\mathl{{ \overline{ \Q_\ell } }}{} arbeitet. }{Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ q^n }$ ist unter Verwendung von Lemma 23.6 und Satz 18.14 gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) } }
{ =} { \operatorname{Grad} \, ( \operatorname{Id}_{ E } - \Phi^n ) }
{ =} { \det \left( \operatorname{Id}_{ T_\ell(E) } - \Phi_\ell^n \right) }
{ =} { 1+ \det \left( \Phi_\ell^n \right) -\operatorname{Spur} { \left( \Phi_\ell^n \right) } }
{ =} { 1+q^n- \alpha^n - \beta^n }
} {} {}{.} }

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} ${\mathbb F}_{ q }$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N_1 }
{ = }{ { \# \left( E({\mathbb F}_{ q }) \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die \definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E;t) }
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) t+qt^2 }{ (1-t)(1-qt) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir betrachten den Ausdruck
\mathl{\sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } }}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N_r }
{ =} { { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^r }) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bezeichne. Nach Satz 24.3  (5) wissen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N_r }
{ =} { 1+q^r - \alpha^r- \beta^r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu $\Phi_\ell$ sind \zusatzklammer {für eine zur Charakteristik teilerfremde Primzahl $\ell$} {} {.} Es ist also
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } }
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty { \left( 1+q^r - \alpha^r- \beta^r \right) } { \frac{ t^r }{ r } } }
{ =} { \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ t^r }{ r } }+ \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (qt)^r }{ r } }- \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (\alpha t)^r }{ r } } - \sum_{ r = 1}^\infty { \frac{ (\beta t)^r }{ r } } }
{ =} { - \ln \left( 1-t \right) - \ln \left( 1-qt \right) + \ln \left( 1-\alpha t \right) + \ln \left( 1-\beta t \right) }
{ } {}
} {} {}{,} wobei wir die \definitionsverweis {Logarithmusreihe}{}{} verwendet haben. Wenn wir auf diese Gleichung die Exponentialreihe anwenden, so erhalten wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Z(E;t) }
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right) }
{ =} { { \frac{ (1 - \alpha t)(1- \beta t) }{ (1-t)(1-qt) } } }
{ =} { { \frac{ (1 - ( \alpha+ \beta )t + \alpha \beta t^2 }{ (1-t)(1-qt) } } }
{ =} { { \frac{ (1 + (N_1-q-1 )t + q t^2 }{ (1-t)(1-qt) } } }
} {} {}{,} wobei wir im letzten Schritt die definierenden Eigenschaften von \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} und Satz 24.3  (1) verwendet haben.

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} ${\mathbb F}_{ q }$.}
\faktfolgerung {Dann erfüllt die \definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mathl{Z(E;t)}{} von $E$ die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E; { \frac{ 1 }{ q t } } ) }
{ =} { Z(E;t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies ergibt sich aus Satz 24.4 durch die Umformungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Z(E; { \frac{ 1 }{ q t } } ) }
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) { \frac{ 1 }{ q t } }+q \left( \frac{ 1 }{ q t } \right)^2 }{ { \left( 1- { \frac{ 1 }{ q t } } \right) } { \left( 1-q { \frac{ 1 }{ q t } } \right) } } } }
{ =} { { \frac{ { \left( q t \right) }^2 + (N_1 -q-1) q t +q }{ { \left( q t- 1 \right) } { \left( q t-q \right) } } } }
{ =} { { \frac{ q { \left( 1 +(N_1 -q-1) t + q t^2 \right) } }{ q { \left( 1-t \right) } { \left( 1-q t \right) } } } }
{ =} { { \frac{ 1+ (N_1 -q-1) t+qt^2 }{ (1-t)(1-qt) } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { Z(E; t ) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten über dem endlichen Körper $\Z/(5)$ die \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x^3+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Sie besitzt nach Beispiel 23.11 sechs Elemente, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N_1 }
{ = }{6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem \definitionsverweis {Tate-Modul}{}{} ist nach Satz 24.3 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T^2 + 5 }
{ =} { (T- \sqrt{5} { \mathrm i} ) (T+ \sqrt{5} { \mathrm i} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta }
{ = }{ \pm \sqrt{5} { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Notation von Satz 24.3. Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb F}_{ 5^n }$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( E( {\mathbb F}_{ q^n } ) \right) } }
{ =} { 5^n+1 - (- \sqrt{5})^n { \mathrm i}^n - \sqrt{5}^n { \mathrm i}^n }
{ =} { 5^n+1 - ( (-1)^n+1 ) \sqrt{5}^n { \mathrm i}^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für $n$ ungerade ist also die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 \mod 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1 + 2 \cdot 5^{n/2}}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 \mod 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Anzahl gleich
\mathl{5^n+1 - 2 \cdot 5^{n/2}}{.} Für gerades $n$ wird also die Hasse-Schranke ausgeschöpft. Die \definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{} von $E$ ist nach Satz 24.4 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(E;t) }
{ =} { { \frac{ 1+ 5 t^2 }{ (1-t)(1-5t) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei eine \definitionsverweis {ebene}{}{} \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V_+(F) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ \Z/(p) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^d }
{ =} { P(Y,Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben, wobei
\mathl{P(Y,Z)}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ = }{ p^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Potenz der Charakteristik $p$. Wenn der Grad $d$ teilerfremd zu $q-1$ ist, so lässt sich die Anzahl
\mathl{{ \# \left( C( {\mathbb F}_{ q } ) \right) }}{} der Punkte der Kurve, die über ${\mathbb F}_{ q }$ definiert sind, einfach bestimmen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y,z) }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein solcher Punkt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} können wir $z$ zu $1$ normieren. Für $y$ können wir jedes Element aus ${\mathbb F}_{ q }$ einsetzen. Aufgrund der vorausgesetzten Teilerfremdheit ist die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb F}_{ q } } { {\mathbb F}_{ q } } { x } { x^d } {,} bijektiv, da diese Abbildung auf
\mathl{{\mathbb F}_{ q }^{\times}}{} der additiven Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(q-1) } { \Z/(q-1) } { v } { dv } {,} entspricht \zusatzklammer {vergleiche Aufgabe 17.16 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021))} {} {.} Somit gehört zu $y$ genau ein Punkt der Kurve. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und man kann $y$ zu $1$ normieren und erhält einen weiteren Punkt der Kurve. Unter dieser Bedingung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( C({\mathbb F}_{ q } ) \right) } }
{ =} { q+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn aber $q-1$ nicht teilerfremd zu $d$ ist, wird die Bestimmung ungleich schwieriger, da man dann im Detail untersuchen muss, welche Zahlen
\mathl{P(y,1)}{} wie viele $d$-te Wurzeln in ${\mathbb F}_{ q }$ besitzen. Da im glatten Fall \mathkor {} {p} {und} {d} {} teilerfremd sind, ist $p$ eine Einheit modulo $d$ und somit gibt es Exponenten $e$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p^e }
{ = }{ 1 \mod d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das heißt, dass $p^e-1$ und $d$ für gewisse Exponenten nicht teilerfremd sind, und daher \zusatzklammer {außer bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} der schwierige Fall definitiv eintritt.

}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei $X$ eine glatte projektive Varietät über einem endlichen Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} es sei $N_r$ die Anzahl der ${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{} Punkte von $X$ mit der zugehörigen \definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t) }
{ =} { \exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} André Weil formulierte 1949 eine Reihe von Vermutungen über das Verhalten dieser Funktion und damit der Anzahlen $N_r$, die er selbst für Kurven bewies. Diese Vermutungen motivierten Alexander Grothendieck zur Einführung der étalen bzw. der $\ell$-adischen Kohomologie \zusatzklammer {die Tate-Moduln kann man als $\ell$-adische Homologiegruppen ansehen} {} {,} mit deren Hilfe 1973 Pierre Deligne letztlich die Vermutungen bestätigte. Die wichtigsten allgemeinen Resultate, die wir im elliptischen Fall gezeigt haben, sind die folgenden. \aufzaehlungvier{Es gibt ganzzahlige Polynome $P_i(t)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{i }
{ \leq }{2n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z(t) }
{ =} { { \frac{ P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) }{ P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion. Dies bedeutet, dass endlich viele der Werte $N_r$ schon alle Werte festlegen \zusatzklammer {Dwork, Grothendieck} {} {.} Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0(t) }
{ = }{1-t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_{2n}(t) }
{ = }{ 1-q^n t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für den elliptischen Fall siehe Satz 24.4. }{Die Grade der Polynome $P_i$ aus Teil (1) haben eine geometrische Bedeutung. Ihr Grad ist die Vektorraumdimension der $i$-ten $\ell$-adischen Kohomologie $H^i(X, \Q_\ell)$. Man spricht von den $\ell$-adischen Betti-Zah\-len. Wenn $X$ durch Reduktion modulo $p$ von einer Varietät \zusatzklammer {Schema} {} {} $\mathcal X$ über $\Z$ \zusatzklammer {oder einem Zahlbereich} {} {} herrührt, so kann man auch die zugehörige Varietät über $\Q$ und über ${\mathbb C}$ betrachten. Diese Varietät hat \zusatzklammer {als komplexe Mannigfaltigkeit} {} {} topologische Betti-Zahlen, die man beispielsweise mit der singulären Kohomologie ausrechnen kann. Diese Betti-Zahlen stimmen mit den $\ell$-adischen Betti-Zahlen der Reduktion überein. Im Fall einer elliptischen Kurve sind die Betti-Zahlen gleich $1,2,1$. }{Die Polynome $P_i$ aus Teil (1) besitzen über ${\mathbb C}$ \zusatzklammer {bzw. über einer geeigneten algebraischen Erweiterung von $\Q$} {} {} eine Zerlegung in lineare Faktoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i }
{ =} { \prod_j (1 - \alpha_{ij} t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha_{ij} } }
{ =} { q^{i/2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Eigenschaft ist analog zur Riemannschen Hypothese. Für den elliptischen Fall siehe Satz 24.3  (3) }{Es gilt eine Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die Satz 24.5 verallgemeinert. }

}