Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Punkte 3 3 1 1 3 2 6 2 4 2 4 3 4 3 2 2 2 3 1 5 2 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Integritätseigenschaft für natürliche Zahlen.
  2. Das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz über die Größenverhältnisse von Potenzen zu in einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich , wenn einer der Faktoren ist.
  2. Es seien natürliche Zahlen mit . Dann ist
  3. Es sei ein {{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded||[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}}]]|[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}}]]|}}{{Expansion depth limit exceeded}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}} {{Expansion depth limit exceeded}}|{{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname= ()}} }} }} |{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded||[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}}]]|[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}}]]|}}{{Expansion depth limit exceeded}}|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|{{Expansion depth limit exceeded|term=|SZ=-}}|}} {{Expansion depth limit exceeded}}|{{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} }} }} }} und . Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f w
f w w
f f w


Lösung Aussagenlogik/Finde Audruck für Wahrheitsfunktion/fwww/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Lösung

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach

nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits

und andererseits


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Lösung

Jedes muss durch auf das aufgrund der Injektivität eindeutig bestimmte mit abgebildet werden. Für die restlichen Elemente in können die Bilder in frei gewählt werden. Dies ergibt insgesamt

Möglichkeiten.


Aufgabe (2 Punkte)

Ed soll ausrechnen. Er rechnet folgendermaßen:

die Antwort ist also .“

Wie rechnet er ?


Lösung

Ed rechnet

die Antwort ist also .


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und es sei die Zahl mit Neunen und die Zahl mit Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.


Lösung

Wir schreiben

und

Es sei zuerst ein Teiler von , also

Dann ist

also ist ein Teiler von .

Für die Umkehrung schreiben wir

mit und setzen voraus, dass von geteilt wird. Es ist zu zeigen. Es ist

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von . Wenn auch ein Vielfaches von ist, so muss auch die Differenz, also ein Vielfaches von sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise


Lösung

Der Induktionsanfang bei ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die ein Vielfaches von ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.


Lösung

Es ist

die erfüllt also die geforderten Eigenschaften. Es bleibt zu zeigen, dass die nicht alle Eigenschaften erfüllt. Es ist

die Primfaktorzerlegung von . Deshalb kann diese Zahl kein Vielfaches von sein. Es ist also die kleinste Zahl, die alle Anforderungen erfüllt.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit


Lösung

  1. Es ist
  2. Genau dann ist

    wenn eine Primzahlpotenz , , ( Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von drei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist , die Antwort ist also .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.


Lösung

Es sei das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur in Frage. Jede Zahl wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von in der -ten Potenz auf. Somit ergibt sich


Aufgabe (3 Punkte)

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?


Lösung

Wir betrachten die Puzzleteile je nachdem, ob sie oder Ausbuchtungen haben (was die Anzahl der Einbuchtungen festlegt). Bei keiner Ausbuchtung gibt es keine weitere Unterscheidung. Bei einer Ausbuchtung kann die Ausbuchtung an einer kurzen oder an einer langen Seite sein. Bei zwei Ausbuchtungen gibt es vier Möglichkeiten: Die beiden Ausbuchtungen können gegenüber an den kurzen Seiten, oder gegenüber an den langen Seiten, oder nebeneinander an einer kurzen und an einer langen Seite sein. Im letzteren Fall macht es aber noch einen Unterschied, ob, wenn man die Ausbuchtung an der kurzen Seite nach oben dreht, die Ausbuchtung an der langen Seite links oder rechts liegt. Für drei Ausbuchtungen gibt es wieder zwei und bei vier Ausbuchtungen wieder eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also

Typen.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Lösung

  1. Es ist

    und

    Die Summe der ersten vier Stammbrüche ist also erstmals größer als .

  2. Es ist

    Wegen

    ist die Summe der ersten sieben Stammbrüche größer als .


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung Term/Einsetzen/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Lösung

Es gibt insgesamt Fladenbrote, so dass also jede Person Brote isst. Somit gibt genau Brot an ab und gibt Brote an ab. gibt also -mal soviel ab wie und bekommt daher Taler, und bekommt einen Taler von .


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten und der Zusammenhang

besteht.


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.


Lösung

Es ist

und

Hier stehen Summanden, wobei der allerletzte gleich ist. Wir vergleichen die Summanden mit . Die ersten beiden Summanden sind gleich , für ist

Bei

sind somit insbesondere die letzten beiden Summanden zusammengenommen kleinergleich und die Summe rechts ist somit .


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf den Bakterien befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm Quadratzentimeter einnimmt.

  1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
  2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?


Lösung Mikroskop/Vergrößerung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme


Lösung

Das ist , da sich beim Inversennehmen Zähler und Nenner vertauschen und fünfmal das Inverse genommen wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.


Lösung

Wenn

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch und gleich . Dies ergibt die Lösung . Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich sind. Wir setzen die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten

Daraus folgt wegen durch Kürzen

Somit ist oder . Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch und nur oder sein können. Bei folgt mit der ersten Gleichung

Dies führt zu den Lösungen und (wobei letzteres wegen in der Tat eine Lösung ist). Bei ist

was zu den Lösungen

und

führt.