Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 6 | 5 | 4 | 1 | 2 | 1 | 3 | 3 | 7 | 3 | 7 | 2 | 7 | 5 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen
- Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
- Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.
- Es ist .
- Für jede
Linearkombination
in gilt
Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil bedeutet, dass von gefressen wird.
- Was frisst ein Polarbear?
- Von wem wird ein Capelin gefressen?
- Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
- Ist die Relation transitiv?
- Ist die Relation antisymmetrisch?
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Bestimme, ob die reelle Zahl
rational ist oder nicht.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf Meter Höhe. Liegt das Verhältnis unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der ist?
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Betrachte die folgenden Aussagen.
- In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives.
- In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von verschiedene ganze Zahl ein (multiplikativ) Inverses, sondern jede von verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses.
Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?
Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und sei die Menge aller Intervallschachtelungen auf . Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen und zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem gibt es ein mit und zu jedem gibt es ein mit .
- Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ist.
- Sei . Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
- Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
- Finde eine quadratische Gleichung der Form
mit , für die die einzige Lösung ist.
- Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
mit , für die eine Lösung ist.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist, und das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist. Sind und unabhängig?
Aufgabe * (8 (3+3+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Kreis mit fünf (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich .
- Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
- Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
- Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche .