Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das Polynom

$(3X^{2}-5X+4)\cdot (X^{3}-6X^{2}+1)-(4X^{3}+2X^{2}-2X+3)\cdot (-2X^{2}-5X)$

im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe

Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge ${}x$ voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet ${}10$ Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet ${}100$ Euro, der Überlaufrand kostet ${}30$ Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet ${}200$ Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.

Aufgabe

Berechne das Produkt

$(X^{6}+X^{3}+X^{2}+X+1)\cdot (X^{5}+X^{4}+X^{2}+1)$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$.

Aufgabe

Berechne das Produkt

$(2X^{3}+4X+5)\cdot (X^{4}+5X^{2}+6)$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$.

Aufgabe

Beweise die Formel

${}X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^{2}+X+1)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper ${}K$ gilt: Wenn ${}P,Q\in K[X]$ beide ungleich ${}0$ sind, so ist auch ${}PQ\neq 0$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Sei

${}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt

1. Entweder ist ${}F\in P$ oder ${}-F\in P$ oder ${}F=0$.
2. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F+G\in P$.
3. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F\cdot G\in P$.

Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

über einem Körper ${}K$ maximal zwei Lösungen besitzt.

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung ${}3x^{2}-6x+2=0$ über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung ${}4x^{2}+5x+2=0$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung ${}7x^{2}+5x-4=0$ durch quadratisches Ergänzen.

Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt ${}200$ Euro, ein Meter Hecke kostet ${}30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet ${}1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

Aufgabe *

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Eine Gleichung der Form

${}ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$

heißt biquadratische Gleichung.

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung ${}x^{4}+7x^{2}-11=0$ über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{2}=x\,$

über ${}\mathbb {Z} /(6)$.

Aufgabe

Eliminiere im kubischen Polynom

$X^{3}+6X^{2}-5X-2$

den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als

$(X+d)^{3}+e(X+d)+f$

mit geeigneten ${}d,e,f$.

Aufgabe *

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe *

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe *

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$

die Menge der Abbildungen von ${}K$ nach ${}K$. Wir betrachten die Relation auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch ${}f\sim g$, falls es ein ${}d\in K$ mit

${}f=g+d\,$

gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$

die Menge der Abbildungen von ${}K$ nach ${}K$. Wir betrachten die Relation auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch ${}f\sim g$, falls es ein ${}c\in K$ mit

${}f(x)=g(x+c)\,$

für alle ${}x\in K$ gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$

die Menge der Abbildungen von ${}K$ nach ${}K$. Wir betrachten die Relation auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch ${}f\sim g$, falls es ein ${}c,d\in K$ mit

${}f(x)=g(x+c)+d\,$

für alle ${}x\in K$ gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper ${}K$ die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.

Aufgabe

Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung

${}X^{2}+pX+q=0\,$

gegeben ist und wenn ${}r,s\in \mathbb {R}$ Zahlen sind mit

${}r+s=-p\,$

und

${}rs=q\,,$

so sind ${}r$ und ${}s$ die Lösungen der Gleichung.

Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}-7x+10=0\,$

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}-101x+100=0\,$

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {R}$. Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}-(d+1)x+d=0\,$

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Polynom

$(3X^{4}+4X+5)\cdot (2X^{4}+7X^{3}+10X^{2}+6X+8)+3X^{2}\cdot (4X^{2}+5)$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(11)[X]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Löse die reelle quadratische Gleichung ${}{\frac {3}{4}}x^{2}+{\frac {2}{7}}x-{\frac {4}{5}}=0$ durch quadratisches Ergänzen.

Aufgabe (1 Punkt)

Löse die quadratische Gleichung ${}2x^{2}+3x+3=0$ über ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{3}-7x^{2}+3x+4=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{3}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}-12x+27=0\,$

mit Hilfe des Satzes von Vieta.

Aufgabe (8 Punkte)

Zwei Personen ${}A$ und ${}B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ${}A$ ein Polynom ${}P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus ${}\mathbb {N}$ sein müssen. Person ${}B$ darf fragen, was der Wert ${}P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist. Dabei darf ${}B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für ${}B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.