Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in ${}K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

$3,601473301....$

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge ${}10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x+y$.

Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle ${}I_{n}$, ${}n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${}{\sqrt[{3}]{20}}$, ausgehend von ${}I_{0}=[0,10]$.

Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle ${}I_{n}$, ${}n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${}{\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$, ausgehend von ${}I_{0}=[0,1]$. Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von ${}{\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$ im Zweiersystem?

Im jetzigen Kontext betrachte man auch nochmal Aufgabe 28.37, Aufgabe 28.38, Aufgabe 28.39.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge ${}T\subseteq K$ heißt ein Abschnitt, wenn für alle ${}a,b\in T$ mit ${}a\leq b$ und jedes ${}x\in K$ mit ${}a\leq x\leq b$ auch ${}x\in T$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ${}K$ ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in ${}\mathbb {Q}$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}M$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf ${}K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen ${}I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ und ${}J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}J_{n}\subseteq I_{m}$ und zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}I_{k}\subseteq J_{n}$.

1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ ist.
2. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.

Aufgabe

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Aufgabe

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Aufgabe

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines Dedekindschen Schnittes vorkommen, ein Beispiel für ein Paar ${}(A,B)$ mit ${}A,B\subseteq \mathbb {Q}$, das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.

Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.

Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt ${}\neq 0$ einen inversen Schnitt besitzt.

Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine totale Ordnung, die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dedekindschen Schnitte ein angeordneter Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jeder Dedekindsche Schnitt in ${}K$ ein Punktschnitt ist. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es seien ${}r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit

${}r^{n}<s\,.$

Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit

${}{\left(r+{\frac {1}{k}}\right)}^{n}<s\,$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Untersuche die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe *

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe *

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe

Berechne für die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{1000}}$ an.

Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe *

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

$-7,35831149....$

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge ${}10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in ${}\mathbb {R} _{+}$ abspielt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x\cdot y$.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$2,1278\ldots$

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ sagen?

Aufgabe (4 Punkte)

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$0{,}101001000100001000001\ldots$

im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ziffernentwicklung von

$0{,}{\overline {1}}\cdot 0{,}{\overline {1}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne für die Folge

${}x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,$

die Glieder bis ${}x_{5}$ als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10000}}$ an.