Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 3

Die Operation der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auf ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ durch Konjugation

Sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$. Sie beschreibt bekanntlich eine lineare Abbildung bezüglich einer gegebenen Basis des ${}K^{n}$. Ein Basiswechsel wird durch eine Matrix ${}B\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ beschrieben, und bezüglich der neuen Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix ${}BMB^{-1}$ beschrieben.

Zwei Matrizen ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ heißen konjugiert, wenn sie durch Konjugation ineinander übergehen, wenn es also eine Matrix ${}B\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}M_{1}=BM_{2}B^{-1}\,$

gibt. Die Konjugation ist generell eine Operation einer Untergruppe auf einer Gruppe, hier ist es allerdings eine Operation auf einer Gruppe auf einem umgebenden Monoid. Durch die Konjugation wird eine Äquivalenzrelation definiert, konjugierte Matrizen bilden eine Äquivalenzklasse (die sogenannten ähnlichen Matrizen). Wir fragen uns: Welche „Daten“ einer Matrix hängen nur von der Konjugationsklasse ab? Welche hängen also nur vom Typ der linearen Abbildung ab, sind aber unabhängig von der gewählten Beschreibung durch eine Basis? Oder anders gefragt: Was sind die invarianten Polynome (in den ${}n^{2}$ Variablen) unter der Konjugation?

Ein wichtiges Beispiel ist die Determinante der Matrix, diese ändert sich nämlich aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes nicht bei Konjugation. Ebensowenig ändert sich die Spur. Auch die Menge der Eigenwerte der Marix bzw. der linearen Abbildung hängt nur von der Konjugationsklasse ab, doch ist dies natürlich kein Polynom.

Eine andere verwandte Frage ist, wie ein optimaler Vertreter in der Konjugationsklasse aussieht. Der Invariantenring zur Konjugation lässt sich folgendermaßen beschreiben.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiere auf ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ durch Konjugation und damit auf dem Polynomring

$K[X_{ij},\,1\leq i,\,j\leq n].$

Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$ lässt sich als

${}\chi (M)=\det(TE_{n}-M)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

schreiben, wobei die ${}a_{i}$ Polynome in den ${}n^{2}$ Koeffizienten der Matrix sind.

Mit diesen Bezeichnungen ist der Invariantenring gleich

${}K[X_{ij},\;1\leq i,j\leq n]^{\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}=K[a_{0},\ldots ,a_{n-1}]\,.$

Da über einem algebraisch abgeschlossenen Körper das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, deren Nullstellen die Eigenwerte der Matrix sind, und die ${}a_{i}$ die elementarsymmetrischen Polynome in den Nullstellen sind, kann man auch so sagen: Jedes konjugationsinvariante Polynom ist ein symmetrisches Polynom in den Eigenwerten der Matrix (mit Vielfachheiten) und damit ein Polynom in den elementarsymmetrischen Polynome in den Eigenwerten der Matrix.

Beweis

Die angegebenen Koeffizientenfunktionen des charakteristischen Polynoms liefern die Abbildung

$p\colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Da das charakteristische Polynom invariant unter der Konjugation ist, sind auch dessen Koeffizienten invariant und daher ist ${}p$ konjugationsinvariant.
Die Einbettung

$i\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots &\\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}},$

ist so, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {\iota }{\longrightarrow }}&\operatorname {Mat} _{n}(K)&\\&\!\!\!\!\!q\searrow &\downarrow p\!\!\!\!\!&\\&&{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert, wobei ${}q$ der Quotient nach der symmetrischen Gruppe ist, also durch die (bis auf das Vorzeichen) elementarsymmetrischen Polynome beschrieben wird. Wir haben zu zeigen, dass ein ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariantes Polynom durch ${}p$ faktorisiert, dass also die Abbildung ${}f$ im Diagramm

${\begin{matrix}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {\iota }{\longrightarrow }}&\operatorname {Mat} _{n}(K)&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{K}^{1}}\\&q\searrow &\downarrow p&\nearrow {\tilde {f}}&\\&&{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

durch ${}p$ mittels ${}{\tilde {f}}$ faktorisiert. Das ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariante Polynom ${}f$ definiert dabei über ${}f\circ \iota$ ein Polynom auf den Eigenwerttupeln. Zwei Diagonalmatrizen mit den gleichen, aber permutierten Eigenwerten, sind zueinander konjugiert, und zwar werden sie durch eine geeignete Permutationsmatrix ineinander überführt. Daher ist das invariante Polynom auch invariant unter der Permutation von Eigenwerten, und damit faktorisiert es durch

$q\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}/S_{n}\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Es gibt also eine polynomiale Abbildung

${\tilde {f}}:{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}{\text{ mit }}f\circ \iota =q{\tilde {f}}.$

Wir haben nun ${}f=p{\tilde {f}}$ zu zeigen (eine Gleichheit von Polynomen). Das ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariante Polynom ist (insbesondere) auf einer Konjugationsklasse konstant. Aus der linearen Algebra weiss man, dass jede trigonalisierbare Matrix konjugiert zu einer Matrix in Jordanscher Normalform, ist, d.h. zu einer Matrix der Form

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\varepsilon _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\varepsilon _{2}&\ldots &\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &\lambda _{n-2}&\varepsilon _{n-1}\\0&0&\ldots &\ldots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

mit ${}\varepsilon _{1}\in \{0,1\}$. Die ${}\lambda _{i}$ sind dabei die Eigenwerte der Matrix. Wenn alle Eigenwerte verschieden sind, so ist die Matrix diagonalisierbar und die ${}\varepsilon _{i}$ sind ${}0$.

Behauptung: Die Menge der Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten bilden eine (Zariski)-offene Teilmenge in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$, und zwar sieht man es den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms an, ob es mehrfache Nullstellen besitzt oder nicht. Dazu ist folgendes zu beachten: Die abgeschlossene Menge

$\bigcup _{i\neq j}V(\Lambda _{i}-\Lambda _{j}),$

also die Vereinigung der „Teildiagonalen“, wird beschrieben durch das Polynom ${}\prod _{i\neq j}(\Lambda _{i}-\Lambda _{j})$. Dieses ist ein symmetrisches Polynom, das daher durch

$q\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

faktorisiert. Ein Polynom besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn dieses Polynom davon verschwindet. Eine Matrix hat genau dann (algebraisch) mehrfache Eigenwerte, wenn die Diskriminante des charakteristischen Polynoms verschwindet. Damit bilden die Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten eine Zariski-offenen Teilmenge und erst recht eine dichte offene Teilmenge in der komplexen Topologie. Auf dieser offenen (dichten) Teilmenge ist ${}f$ durch die Diagonalmatrizen festgelegt und daher sitmmen darauf ${}f$ und ${}p{\tilde {f}}$ überein. Also stimmen sie überhaupt überein.

$\Box$

Beispiel

In der Situation von Fakt ***** ist bei ${}n=2$ das charakteristische Polynom der Matrix ${}{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}$ gleich

$T^{2}-{\left(X_{11}+X_{12}\right)}T+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}.$

Die Abbildung der Koeffizienten ist demnach

$p\colon \operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{2}},\,{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}\longmapsto (X_{11}+X_{22},X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}).$

Die Diskriminante eines normierten Polynoms vom Grad zwei ist

${}{\left(\Lambda _{1}-\Lambda _{2}\right)}^{2}=\Lambda _{1}^{2}-\Lambda _{2}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}={\left(\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\right)}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}=E_{1}^{2}-4E_{2}\,$

mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$. Daher ist das Polynom in den vier Variablen, das angibt, ob es mehrfache Eigenwerte gibt oder nicht, gleich

${}{\left(X_{11}-X_{22}\right)}^{2}-4{\left(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}\right)}=X_{11}^{2}+X_{22}^{2}-2X_{11}X_{22}+4X_{12}X_{21}\,.$

Achtung: In der durch das charakteristische Polynom gegebenen Abbildung ${}p\colon \operatorname {Mat} _{K}(K)\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ sind die Fasern im Allgemeinen größer als die Bahnen, d.h. eine Faser kann mehrere Konjugationsklassen umfassen. Die Einheitsmatrix bildet für sich allein eine eigene Konjugationsklasse. Ihr charakteristisches Polynom ist ${}(T-1)^{n}$, aber auch jede obere Dreiecksmatrix, in deren Hauptdiagonale nur ${}1$ steht (eine Scherungsmatrix), hat dieses charakteristische Polynom. Die Konjugationsklassen sind nicht abgeschlossen, daher lassen sie sich auch nicht durch stetige Abbildungen trennen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}p\colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die Abbildung, die jede Matrix auf die Koeffizienten (ohne den Leitkoeffizienten) ihres charakteristischen Polynoms abbildet. Dann gilt:

Eine Matrix ${}N$ geht unter ${}p$ genau dann auf ${}0=(0,\ldots ,0)$, wenn sie nilpotent ist.

Beweis

„ ${}\Leftarrow$ “ Eine nilpotente Matrix ist konjugiert zu ${}{\begin{pmatrix}0&*&*\\&\ddots &*\\0&&0\end{pmatrix}}$. Daher ist das charakteristische Polynom gleich ${}T^{n}$ und die Koeffizienten sind null.

„${}\Rightarrow$ “ Die Matrix ist konjugiert zu ${}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&*&*\\&\ddots &*\\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$, ihr charakteristisches Polynom ist

$(T-\lambda _{1})\cdots (T-\lambda _{n}),$

und dieses ist nach Voraussetzung gleich ${}T^{n}$. Also ist ${}\lambda _{i}=0$ und die Matrix ist nilpotent.

$\Box$

Die Konjugationsklassen sind nicht abgeschlossen, daher lassen sie sich auch nicht durch stetige Abbildungen trennen (die Fasern sind natürlich abgeschlossen). Eine Jordanmatrix

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\varepsilon _{1}&&\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\varepsilon _{n-1}\\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

ist konjugiert zu

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&t\varepsilon _{1}&&\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &t\varepsilon _{n-1}\\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}},$

und zwar ist

${}{\begin{pmatrix}t^{n-1}&&&\\&t^{n-2}&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\varepsilon _{1}&&\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\varepsilon _{n-1}\\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&t\varepsilon _{1}&&\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &t\varepsilon _{n-1}\\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t^{n-1}&&&\\&t^{n-2}&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{pmatrix}}\,.$

Die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix von links bedeutet, dass die ${}i$-te Zeile mit dem ${}i$-ten Diagonalelement multipliziert wird. Die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix von rechts bedeutet, dass die ${}i$-te Spalte mit dem ${}i$-ten Diagonalelement multipliziert wird. Daher steht links und rechts beidesmal

${\begin{pmatrix}t^{n-1}\lambda _{1}&t^{n-1}e_{1}&&\\&t^{n-2}\lambda _{2}&\ddots &\\&&\ddots &te_{n-1}\\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Für ${}t\to 0$ (bei ${}K={\mathbb {C} }$) sieht man, dass die zugehörige Diagonalmatrix im Abschluss der Konjugationsklasse liegt. Sie gehört aber nur selbst zu dieser Klasse, wenn die in Jordanform angegebene Matrix selbst diagonalisierbar ist.

Der obige Satz gilt nicht für jeden Körper.

Beispiel

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$ auf ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ durch Konjugation. Jede invertierbare Matrix hat die Determinante ${}1$ und für die Spur kommen nur die Werte ${}0$ und ${}1$ in Frage. Die Einheitsmatrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ hat die Spur ${}0$, ebenso die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$. Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung ${}q$ in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert (dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei).

Da ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert (eine solche Abbildung ist aber auf ${}\operatorname {Mat} _{2}(K)$ nicht invariant ausdehnbar).