Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Tensorprodukt von Ringen}
Wir betrachten jetzt die Situation, in der zwei kommutative $R$-Algebren vorliegen.
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{A,B}{} seien
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {A \otimes_{ R } B} { }
eine kommutative $R$-Algebra und es gibt
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\maabbeledisp {} {A} { A \otimes_{ R } B
} {a} { a \otimes 1
} {,}
und
\maabbeledisp {} {B} { A \otimes_{ R } B
} {b} { 1 \otimes b
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Multiplikationen auf
\mathkor {} {A} {bzw. auf} {B} {}
führen zu
$R$-\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabb {\mu_A} {A \otimes_{ R } A} {A
} {}
und
\maabb {\mu_B} {B \otimes_{ R } B} {B
} {.}
Dies ergibt eine
$R$-\definitionsverweis {bilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( A \otimes_{ R } A \right) } \times { \left( B \otimes_{ R } B \right) } } { A \otimes_{ R } B
} {}
und damit zu einer $R$-linearen Abbildung
\maabbdisp {\mu} { { \left( A \otimes_{ R } A \right) } \otimes_{ R } { \left( B \otimes_{ R } B \right) } } { A \otimes_{ R } B
} {.}
Aufgrund der
Kommutativität des Tensorprodukts
können wir dies als eine $R$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\mu} { { \left( A \otimes_{ R } B \right) } \otimes_{ R } { \left( A \otimes_{ R } B \right) } } { A \otimes_{ R } B
} {}
auffassen, wodurch eine Multiplikation auf
\mathl{A \otimes_{ R } B}{} definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a_1 \otimes b_1 \right) } \cdot { \left( a_2 \otimes b_2 \right) }
}
{ =} { a_1a_2 \otimes b_1b_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und allgemein durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^m a_i \otimes b_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n c_j \otimes d_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i,j } a_ic_j \otimes b_ib_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.
\inputbeispiel{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und den
\definitionsverweis {Polynomringen}{}{}
\mathl{A=R[X_1 , \ldots , X_m]}{} und
\mathl{B=R[Y_1 , \ldots , Y_n]}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \otimes_{ R } B
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Vorgabe
\mathl{X_i \mapsto X_i \otimes 1}{} und
\mathl{Y_j \mapsto 1 \otimes Y_j}{} definiert den
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ] } { A \otimes_{ R } B
} {.}
Die Zuordnung
\maabbeledisp {} {A \times B} { R[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ]
} {(a,b)} { a \cdot b
} {,}
ist
$R$-\definitionsverweis {bilinear}{}{}
und definiert
nach Lemma 16.3 (2)
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {A \otimes_{ R } B } {R[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ]
} {.}
Beide Abbildungen sind invers zueinander.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mathl{A=R[X_1 , \ldots , X_m]/ {\mathfrak a}}{} und
\mathl{B=R[Y_1 , \ldots , Y_n]/ {\mathfrak b}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \otimes_{ R } B
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_m,Y_1 , \ldots , Y_n ]/( {\mathfrak a} + {\mathfrak b} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in
Beispiel 17.2
begründet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {} die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
Zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ist die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu $\varphi^*$ über ${\mathfrak p}$ gleich
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( \kappa( {\mathfrak p} ) \otimes_{ R } S \right) }}{.} Dies folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa( {\mathfrak p} ) \otimes_{ R } S
}
{ =} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} \otimes_{ R } S
}
{ \cong} { { \left( S/ {\mathfrak p} \right) }_{ \varphi(R \setminus {\mathfrak p} )}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {nach
Proposition 16.9} {} {}
und der Beschreibung der Faser in
Lemma 14.3.
}
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{A,B,S}{} seien
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( A \otimes_{ R } B,S \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( A ,S \right) } \times \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( B ,S \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Über die natürlichen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Lemma 17.1} {} {}
\maabbeledisp {} {A} { A \otimes_{ R } B
} {a} { a \otimes 1
} {,}
und
\maabbeledisp {} {B} { A \otimes_{ R } B
} {b} { 1 \otimes b
} {,}
erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die
\mathl{a \otimes 1}{} und
\mathl{1 \otimes b}{} ein
$R$-\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{} von
\mathl{A \otimes_{ R } B}{} bilden, ist darauf ein $R$-Algebrahomomorphismus nach $S$ festgelegt. Es kann also zu
\mathdisp {(\varphi,\psi) \in \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( A ,S \right) } \times \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ R } \, { \left( B ,S \right) }} { }
maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei
\mathl{(\varphi,\psi)}{} gegeben. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {A \times B} { S
} {(a,b)} { \varphi(a) \psi(b)
} {.}
Diese Abbildung ist offenbar
$R$-\definitionsverweis {bilinear}{}{,}
daher gibt es dazu
nach Lemma 16.3
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\theta} {A \otimes_{ R } B} {S
} {.}
Dieser ist wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \theta ( a_1 \otimes b_1 \cdot a_2 \otimes b_2 )
}
{ =} { \theta ( a_1 a_2 \otimes b_1 b_2 )
}
{ =} { \varphi(a_1 a_2 ) \cdot \psi ( b_1 b_2 )
}
{ =} { \varphi(a_1) \varphi(a_2) \psi(b_1) \psi(b_2)
}
{ =} {\theta ( a_1 \otimes b_1) \cdot \theta( a_2 \otimes b_2 )
}
}
{}
{}{}
auch mit der Multiplikation verträglich.
Bei
\mathl{Z= \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{,}
\mathl{X= \operatorname{Spek} { \left( A \right) }}{} und
\mathl{Y= \operatorname{Spek} { \left( B \right) }}{} schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X \times_{ Z } Y
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( A \otimes_{ R } B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {manchmal auch \mathlk{X \times_{ R } Y}{}} {} {}
und nennt dies das \stichwort {Produkt der affinen Schemata} {}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\zusatzklammer {über $Z$} {} {.}
Der obige Satz übersetzt sich zur folgenden universellen Eigenschaft dieses Produkts: Zu einem affinen Schemamorphismus
\zusatzklammer {also einer Spektrumsabbildung} {} {}
\maabbdisp {\psi} {T = \operatorname{Spek} { \left( C \right) } } { Z = \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
} {}
und zwei Morphismen
\maabb {\varphi_1} {T } { X
} {}
und
\maabb {\varphi_2} {T } { Y
} {}
über $\psi$ gibt es einen eindeutigen Morphismus
\maabbdisp {\varphi} {T} { X \times_Z Y
} {,}
der mit allen vorgegebenen Morphismen kommutiert. Wenn
\mathl{Z= \operatorname{Spek} { \left( K \right) }}{} das Spektrum eines Körpers ist, so bedeutet dies für die $K$-wertigen Punkte insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X \times_Z Y \right) } (K)
}
{ =} { X(K) \times Y (K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Hopf-Algebren und affine Gruppenschemata}
Wir haben zu einer Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring $R$ eine geometrische Interpretation gefunden, nämlich die Operation der Gruppe auf dem Spektrum von $R$. Der Ring bildet zusammen mit seinem Spektrum eine algebraisch-geometrische Einheit, und die Gruppenwirkung hat algebraische und geometrische Eigenschaften, die eng miteinander verflochten sind. Die Gruppenoperation können wir als einen Gruppenhomomorphismus in die Automorphismengruppe des Ringes oder des affinen Schemas auffassen. Wir haben aber bisher noch keine Sprache dafür, ob die Operation als Ganzes algebraisch-geometrisch ist, und wir haben noch nicht geklärt, ob wir die operierende Gruppe eher als ein algebraisches oder als ein geometrisches Objekt ansehen wollen.
Zum ersten Problemkreis betrachten wir einerseits die multiplikative Gruppe
\mathl{{ \left( K^{\times}, 1, \cdot \right) }}{} und andererseits die additive Gruppe
\mathl{{ \left( K,0, + \right) }}{} zu einem Körper $K$. Die typischen Operationen dieser beiden Gruppen haben ziemlich verschiedene Eigenschaften. Die multiplikativen Operationen sind \anfuehrung{diagonalisierbar}{} und eng mit den Graduierungen
\zusatzklammer {siehe
Satz 7.10} {} {} verbunden, die Invariantenringe sind daher recht einfach zu berechnen und sind insbesondere direkte Summanden. Letzteres muss für die additive Gruppe nicht gelten, wie
Beispiel 6.9
\zusatzklammer {vergleiche auch
Beispiel 15.9} {} {}
zeigt. Dieser Unterschied ist aber bisher lediglich eine Beobachtung, da wir nur einige Beispiele von Operationen dieser Gruppen betrachtet, aber noch nicht fixiert haben, auf welche Art diese Gruppen operieren sollen.
\inputbeispiel{}
{
Die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} ist bekanntlich ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {(\R,0,+)} { (\R_+ , 1, \cdot ) \subset \R^{\times} } {t} { e^t } {,} mit dem \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} als \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{.} Daher kann man jede \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} der additiven Gruppe $\R$ auf einer beliebigen Menge auch als eine Operation der positiven multiplikativen Gruppe $\R_+$ ansehen und umgekehrt. Sämtliche operationstheoretischen Konzepte wie Bahn, Isotropiegruppe, Invariantenring stimmen dabei überein. Beispielsweise kann man die skalare Multiplikation von $\R^{\times}$ auf dem $\R^n$ als die Operation \maabbeledisp {} {(\R,0,+) \times \R^n} { \R^n } {(t,x_1 , \ldots , x_n) } { ( e^t x_1 , \ldots , e^t x_n ) } {,} auffassen. Diese Operation kann man nur unter Verwendung einer \definitionsverweis {transzendenten Funktion}{}{} hinschreiben. Wenn man nur \anfuehrung{algebraische Operationen}{} zulassen möchte, so sind die multiplikative und die additive Gruppe nicht isomorph, und sie besitzen sehr unterschiedliche Operationen.
}
Die Gruppenaxiome kann man durch die folgenden kommutativen Diagramme ausdrücken. Dabei sei $G$ die Gruppe, $\mu$ die Multiplikation, $e$ das neutrale Element und
\mathl{\operatorname{inv}}{} die Inversenabbildung.
\mathdisp {\begin{matrix} G \times G \times G & \stackrel{ \mu \times
\operatorname{Id}_{ G } }{\longrightarrow} & G \times G & \\ \!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \times \mu \downarrow & & \downarrow \mu \!\!\!\!\! & \\ G \times G & \stackrel{ \mu }{\longrightarrow} & G & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
\mathdisp {\begin{matrix}G & \stackrel{ \operatorname{Id} \times e }{\longrightarrow} & G \times G & \\ & \!\!\! \!\! \!\!\!\!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \searrow & \downarrow \mu \!\!\! \!\! & \\ & & G & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
\mathdisp {\begin{matrix} G & \stackrel{ \operatorname{inv} \times
\operatorname{Id}_{ G } }{\longrightarrow} & G \times G & \\ \downarrow & & \downarrow \mu \!\!\!\!\! & \\ \{ e\} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
Die duale Formulierung dieser Diagramme führt zum Begriff der \stichwort {Hopf-Algebra} {.}
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{\zusatzfussnote {Wir schreiben hier $K$ für den kommutativen Grundring; die Schlagkraft des Konzeptes zeigt sich bereits vollständig im Fall, dass $K$ ein Körper ist, so dass man sich unter $K$ gerne einen Körper vorstellen kann} {.} {.}} Eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $H$ heißt \definitionswort {Hopf-Algebra}{,} wenn es fixierte $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} \zusatzklammer {genannt \definitionswort {Komultiplikation}{,} \definitionswort {Koeinheit}{} und \definitionswort {Koinverses}{}} {} {} \maabbdisp {\Delta} { H} {H \otimes_{ K } H } {,} \maabbdisp {\epsilon} { H} { K } {} und \maabbdisp {S} {H} {H } {} gibt, derart, dass die Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} H & \stackrel{ \Delta }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } H & \\ \!\!\!\!\! \!\! \Delta \downarrow & & \downarrow \operatorname{Id}_{ H }\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! & \\ H \otimes_{ K } H & \stackrel{ \Delta \otimes
\operatorname{Id}_{ H } }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } H \otimes_{ K } H & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
\mathdisp {\begin{matrix}H & \stackrel{ \Delta }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } H & \\ & \!\!\! \!\! \cong \searrow & \downarrow \epsilon \otimes
\operatorname{Id}_{ H } \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\! \!\! & \\ & & K \otimes_{ K } H & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{matrix} H & \stackrel{ \Delta }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } H & \\ \!\!\!\!\! \epsilon \downarrow & & \downarrow \operatorname{Id}_{ H } \cdot S \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! & \\ K & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutieren.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{(G,1,\cdot)}{} eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ \defeq} { \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von $G$ sind. Wir definieren auf $H$ eine
\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{}
unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation
\maabbdisp {\mu} {G \times G} { G
} {}
führt zur Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } \otimes \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } \cong \operatorname{Abb} \, { \left( G \times G , K \right) }
} {f} { f \circ \mu
} {,}
wodurch wir die
\definitionsverweis {Komultiplikation}{}{}
\maabbdisp {\Delta} {H } {H \otimes_{ K } H
} {}
festlegen. Das Basiselement $e_\sigma$ zu
\mathl{\sigma \in G}{} wird dabei auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ \tau \cdot \rho = \sigma } e_\tau \otimes e_\rho
}
{ =} {\sum_{ \tau } e_\tau \otimes e_ {\tau^{-1} \cdot \sigma}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet. Das neutrale Element
\mathl{1 \in G}{} induziert die Auswertungsabbildung
\maabbeledisp {\epsilon} {H = \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } } { K
} {f} { f(1)
} {,}
und die Inversenbildung
\maabbeledisp {\operatorname{inv}} {G} {G
} {\sigma} {\sigma^{-1}
} {,}
führt zu
\maabbeledisp {S} { \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }
} {f} { f \circ \operatorname{inv}
} {,}
wobei das Basiselement $e_{\sigma}$ auf
\mathl{e_{\sigma^{-1} }}{} abgebildet wird. Die Abbildungen
\mathl{\Delta,\epsilon, S}{} sind offenbar
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{.}
Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( - , K \right) }}{} in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} kann man folgendermaßen eine
\definitionsverweis {Hopf-Struktur}{}{} erklären. Die
\definitionsverweis {Komultiplikation}{}{} wird durch
\maabbeledisp {\Delta} {K[X]} { K[X] \otimes_{ K } K[X] \cong K[X,Y]
} {X} { X \otimes1 + 1 \otimes X = X+Y
} {,}
erklärt. Die
\definitionsverweis {Koeinheit}{}{} wird durch
\maabbeledisp {} {K[X]} {K
} {X} {0
} {,} festgelegt und das
\definitionsverweis {Koinverse}{}{}
ist durch
\maabbeledisp {} {K[X]} {K[X]
} {X} {-X
} {,}
definiert. Nach
Aufgabe 17.14
ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die \stichwort {Hopf-Algebra der additiven Gruppe} {} nennt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Auf
\mathl{K[X,X^{-1}] \cong K[X]_X}{} kann man folgendermaßen eine
\definitionsverweis {Hopf-Struktur}{}{} erklären. Die
\definitionsverweis {Komultiplikation}{}{} wird durch
\maabbeledisp {\Delta} {K[X,X^{-1}]} { K[X,X^{-1}] \otimes_{ K } K[X,X^{-1}] \cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}]
} {X} { X \otimes1 \cdot 1 \otimes X = X \cdot Y
} {,}
erklärt. Die
\definitionsverweis {Koeinheit}{}{} wird durch
\maabbeledisp {} {K[X]} {K
} {X} {1
} {,} festgelegt und das
\definitionsverweis {Koinverse}{}{}
ist durch
\maabbeledisp {} {K[X,X^{-1}]} {K[X ,X^{-1}]
} {X} {X^{-1}
} {,}
definiert. Nach
Aufgabe 17.17
ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die \stichwort {Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe} {} nennt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{(D,0,+)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{,} $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{K[D]}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Gruppenring}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[D]
}
{ =} { \bigoplus_{d \in D} K X^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Darauf lässt sich die Struktur einer
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{} erklären, indem man die
\definitionsverweis {Komultiplikation}{}{} als
\maabbeledisp {\Delta} {K[D]} { K[D] \otimes_{ K } K[D]
} {X^d} { X^d \otimes X^d
} {,}
die
\definitionsverweis {Koeinheit}{}{} als
\maabbeledisp {\epsilon} {K[D]} {K
} {X^d} {X^0 = 1
} {,}
und das
\definitionsverweis {Koinverse}{}{}
als
\maabbeledisp {S} {K[D]} {K[D]
} {X^d} {X^{-d}
} {,} ansetzt. Diese
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} gehören zu den Gruppenhomomorphismen
\maabbele {} {D} {D \times D
} {d} {(d,d)
} {,}
\maabb {} {D} {0
} {} und
\maabbele {} {D} {D
} {d} {-d
} {,} im Sinne von
Korollar 8.6.
}
Die Konstruktion in
Beispiel 17.10
ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für
\mathl{D=\Z}{.}
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